Posición relativa de rectas y perpendicularidad

**a) Comprobar que $r$ y $s$ están contenidas en un mismo plano $\pi$ y hallar la ecuación de dicho plano. (1.25 ptos)** Primero, obtenemos el vector director de la recta $r$, $\vec{v_r}$, realizando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{n_1} = (8, 2, -3), \quad \vec{n_2} = (-7, -1, 3)$$ $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 2 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}\mathbf{i} - \begin{vmatrix} 8 & -3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ -7 & -1 \end{vmatrix}\mathbf{k}$$ $$\vec{v_r} = (6 - 3)\mathbf{i} - (24 - 21)\mathbf{j} + (-8 - (-14))\mathbf{k} = (3, -3, 6)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 3: **$\vec{v_r} = (1, -1, 2)$**. Para hallar un punto $A_r$ de la recta $r$, fijamos $x = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} 8(-1) + 2y - 3z = -12 \\ -7(-1) - y + 3z = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} 2y - 3z = -4 \\ -y + 3z = 2 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $y = -2$. Sustituyendo en la segunda: $-(-2) + 3z = 2 \implies 3z = 0 \implies z = 0$. El punto es **$A_r(-1, -2, 0)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

La recta $s$ está en forma continua: $x = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{2}$. De la ecuación extraemos directamente: - Un punto de la recta: **$A_s(0, -1, 2)$**. - El vector director: **$\vec{v_s} = (1, 1, 2)$**. Observamos que los vectores $\vec{v_r} = (1, -1, 2)$ y $\vec{v_s} = (1, 1, 2)$ no son proporcionales, por lo que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Por tanto, o se cortan en un punto (son coplanarias) o se cruzan en el espacio.

Para comprobar si están en el mismo plano, calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{A_r A_s} = (0 - (-1), -1 - (-2), 2 - 0) = (1, 1, 2)$. Analizamos la dependencia lineal de $\{\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{A_r A_s}\}$ mediante el determinante: $$\text{det}(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{A_r A_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Como las dos últimas filas son iguales, el determinante es **0**. Al ser el determinante nulo y los vectores directores no proporcionales, las rectas **se cortan en un punto** y, por consiguiente, están contenidas en un mismo plano $\pi$. 💡 **Tip:** Si el determinante de los dos vectores directores y el vector entre puntos es cero, las rectas son coplanarias.

El plano $\pi$ contiene a ambas rectas, por lo que su vector normal $\vec{n_\pi}$ será perpendicular a $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-2 - 2)\mathbf{i} - (2 - 2)\mathbf{j} + (1 - (-1))\mathbf{k} = (-4, 0, 2)$$ Podemos usar como vector normal **$\vec{n_\pi} = (2, 0, -1)$**. La ecuación del plano será de la forma $2x - z + D = 0$. Imponemos que pase por $A_s(0, -1, 2)$: $$2(0) - (2) + D = 0 \implies D = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 2x - z + 2 = 0}$$

**b) Averiguar la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(0, -1, 2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. (1.25 ptos)** Sea $t$ la recta buscada. Para que $t$ pase por $P$ y corte perpendicularmente a $r$, debe estar contenida en un plano $\alpha$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $r$. El vector normal de dicho plano será el vector director de $r$: $\vec{n_\alpha} = \vec{v_r} = (1, -1, 2)$. La ecuación de $\alpha$ es: $1(x - 0) - 1(y - (-1)) + 2(z - 2) = 0$ $$x - (y + 1) + 2z - 4 = 0 \implies x - y + 2z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Una recta que corta perpendicularmente a otra siempre se encuentra en el plano perpendicular a la segunda que pasa por el punto dado.

El punto de corte $Q$ entre la recta buscada $t$ y la recta $r$ es el punto de intersección de $r$ con el plano $\alpha$. Escribimos $r$ en paramétricas: $r: \begin{cases} x = -1 + λ \\ y = -2 - λ \\ z = 2λ \end{cases}$ Sustituimos en la ecuación de $\alpha$: $x - y + 2z - 5 = 0$ $$(-1 + λ) - (-2 - λ) + 2(2λ) - 5 = 0$$ $$-1 + λ + 2 + λ + 4λ - 5 = 0 \implies 6λ - 4 = 0 \implies λ = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ Calculamos las coordenadas de $Q$: $$x_Q = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}; \quad y_Q = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}; \quad z_Q = 2\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$$ $$Q\left(-\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$$

La recta $t$ pasa por $P(0, -1, 2)$ y $Q(-1/3, -8/3, 4/3)$. Su vector director $\vec{v_t}$ es: $$\vec{v_t} = \vec{PQ} = \left(-\frac{1}{3} - 0, -\frac{8}{3} - (-1), \frac{4}{3} - 2\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right)$$ Podemos tomar como vector director uno proporcional: **$\vec{d_t} = (1, 5, 2)$**. La ecuación de la recta $t$ en forma continua es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{t: \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{2}}$$