Geometría en el espacio: planos, rectas e intersecciones

**a) Hallar la ecuación del plano tal que, la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto $P$. Averiguar el ángulo que forma el plano encontrado con la recta $r$.** Se nos indica que una recta pasa por el origen $O(0, 0, 0)$ y es perpendicular al plano buscado $\pi$, cortándolo en el punto $P(1, -2, 0)$. Esto significa que el vector $\vec{OP}$ es perpendicular al plano, por lo que puede utilizarse como vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Calculamos el vector $\vec{OP}$: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{OP} = P - O = (1, -2, 0) - (0, 0, 0) = (1, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal de un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$ es $\vec{n} = (A, B, C)$. Si una recta es perpendicular al plano, su vector director coincide con el normal del plano. $$\vec{n}_{\pi} = (1, -2, 0)$$

Con el vector normal $\vec{n}_{\pi} = (1, -2, 0)$ y sabiendo que el plano contiene al punto $P(1, -2, 0)$, utilizamos la ecuación general: $$1 \cdot (x - 1) - 2 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 0) = 0$$ $$x - 1 - 2(y + 2) = 0$$ $$x - 2y - 1 - 4 = 0$$ $$x - 2y - 5 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: x - 2y - 5 = 0}$$

Para hallar el ángulo entre el plano y la recta $r$, primero necesitamos el vector director de $r$. La recta viene dada por la intersección de dos planos: $$r: \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$$ El vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos: $$\vec{n}_1 = (1, -2, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 0, -1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-2 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = 2\vec{i} - \vec{j}(-2) + 2\vec{k} = (2, 2, 2)$$ Podemos simplificar el vector director tomando uno proporcional: $$\vec{v}_r = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al obtenido también es un vector director válido para la recta.

El ángulo $\alpha$ que forman una recta con vector director $\vec{v}$ y un plano con vector normal $\vec{n}$ se calcula mediante la fórmula: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$$ Datos: - $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ - $\vec{n}_{\pi} = (1, -2, 0)$ Calculamos el producto escalar y los módulos: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = (1)(1) + (1)(-2) + (1)(0) = 1 - 2 = -1$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{n}_{\pi}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$$ Sustituimos: $$\sin \alpha = \frac{|-1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$ $$\alpha = \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{15}} \right) \approx 14.98^\circ$$ ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{15}} \right) \text{ rad} \approx 14.98^\circ}$$

**b) Hallar el punto de intersección de la recta $r$ y $s: \dfrac{x - 5}{1} = \dfrac{y + 1}{-2} = \dfrac{z - 9}{3}$** Primero, parametrizamos la recta $r$. Del sistema inicial: $x - z = 0 \implies x = z$ $x - 2y + z = 0 \implies z - 2y + z = 0 \implies 2z = 2y \implies y = z$ Si llamamos $z = t$: $$r: \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$$ Para la recta $s$, igualamos a un parámetro $\lambda$: $$s: \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = -1 - 2\lambda \\ z = 9 + 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar el punto de intersección de dos rectas, igualamos sus coordenadas paramétricas y resolvemos el sistema para los parámetros $t$ y $\lambda$.

Igualamos componente a componente: 1) $t = 5 + \lambda$ 2) $t = -1 - 2\lambda$ 3) $t = 9 + 3\lambda$ Igualamos (1) y (2): $$5 + \lambda = -1 - 2\lambda \implies 3\lambda = -6 \implies \lambda = -2$$ Sustituimos $\lambda = -2$ en la ecuación (1) para hallar $t$: $$t = 5 + (-2) = 3$$ Ahora verificamos en la ecuación (3) para asegurar que las rectas se cortan: $$3 = 9 + 3(-2) \implies 3 = 9 - 6 \implies 3 = 3 \quad (\text{Se cumple})$$ Sustituyendo $t = 3$ en $r$ (o $\lambda = -2$ en $s$): $$x = 3, \quad y = 3, \quad z = 3$$ ✅ **Resultado (Punto de intersección):** $$\boxed{Q(3, 3, 3)}$$