Resolución de ecuación matricial

**2B. Resolver la ecuación matricial: $AX + B^t = A^2$, siendo $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$** Primero, debemos despejar la matriz $X$ de la ecuación dada: $AX + B^t = A^2$. 1. Restamos $B^t$ en ambos lados de la igualdad: $$AX = A^2 - B^t$$ 2. Para aislar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$ (siempre que exista): $$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot (A^2 - B^t)$$ $$(A^{-1} A) X = A^{-1} A^2 - A^{-1} B^t$$ $$I \cdot X = A - A^{-1} B^t$$ $$X = A - A^{-1} B^t$$ O de forma más sencilla trabajando con la expresión $AX = A^2 - B^t$: $$X = A^{-1}(A^2 - B^t)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Como $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, su inversa $A^{-1}$ debe multiplicar a todo el miembro de la derecha también por la izquierda.

Para calcular $A^{-1}$ comprobamos primero si su determinante es distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$|A| = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1(1 - 0) = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Matriz inversa:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos las matrices necesarias para la operación $A^2 - B^t$: **Matriz $A^2$:** $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ **Matriz transpuesta $B^t$:** Intercambiamos filas por columnas en $B$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para la transpuesta, la primera fila de $B$ se convierte en la primera columna de $B^t$.

Llamamos $C$ a la matriz resultante de la resta: $$C = A^2 - B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-1 & 1-(-1) \\ 0-(-1) & 1-(-1) & 1-2 \\ 0-1 & 0-0 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot C$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $x_{11} = 0(0) + 1(1) + 0(-1) = 1$ - $x_{12} = 0(-1) + 1(2) + 0(0) = 2$ - $x_{13} = 0(2) + 1(-1) + 0(-2) = -1$ - $x_{21} = 1(0) + 0(1) + (-1)(-1) = 1$ - $x_{22} = 1(-1) + 0(2) + (-1)(0) = -1$ - $x_{23} = 1(2) + 0(-1) + (-1)(-2) = 2 + 2 = 4$ - $x_{31} = 0(0) + 0(1) + 1(-1) = -1$ - $x_{32} = 0(-1) + 0(2) + 1(0) = 0$ - $x_{33} = 0(2) + 0(-1) + 1(-2) = -2$ ✅ **Solución final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}}$$