Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de $k$. (1.5 ptos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} -1 & k & 2 \\ 2 & k & -1 \\ k & -1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & k & 2 & k \\ 2 & k & -1 & 2 \\ k & -1 & 2 & k \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo.

Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & k & 2 \\ 2 & k & -1 \\ k & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot k \cdot 2 + k \cdot (-1) \cdot k + 2 \cdot 2 \cdot (-1)] - [k \cdot k \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot k]$$ $$|A| = [-2k - k^2 - 4] - [2k^2 - 1 + 4k]$$ $$|A| = -2k - k^2 - 4 - 2k^2 + 1 - 4k = -3k^2 - 6k - 3$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-3k^2 - 6k - 3 = 0 \implies k^2 + 2k + 1 = 0$$ $$(k+1)^2 = 0 \implies k = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante es una herramienta fundamental para determinar el rango. Si $|A| \neq 0$, el rango es máximo (igual al número de incógnitas).

Analizamos los casos según el valor de $k$ basándonos en el **Teorema de Rouché-Frobenius**: **Caso 1: $k \neq -1$** Si $k \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = \text{nº de incógnitas}$$ Por lo tanto, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**.

**Caso 2: $k = -1$** Si $k = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$), por lo que el determinante de cualquier menor de orden 3 que incluya estas filas será 0. El $\text{rango}(A^*)$ será igual al $\text{rango}(A)$. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0$$ Esto significa que $\text{rango}(A) = 2$. Dado que $F_1 = F_3$ también en la matriz ampliada, no existe ningún menor de orden 3 en $A^*$ con determinante distinto de cero, por lo que $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº de incógnitas), por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} k \neq -1: \text{SCD (Solución única)} \\ k = -1: \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema para $k = 2$. (1 ptos)** Para $k = 2$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es un **SCD**. Sustituimos $k$ en el sistema: $$\begin{cases} -x + 2y + 2z = 2 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 2z = 2 \end{cases}$$ Calculamos el determinante de $A$ para $k = 2$: $$|A| = -3(2)^2 - 6(2) - 3 = -12 - 12 - 3 = -27$$ Utilizaremos la **Regla de Cramer** para resolverlo: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{-27} = \frac{[8 - 4 - 4] - [8 + 2 + 8]}{-27} = \frac{0 - 18}{-27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}}{-27} = \frac{[-4 - 4 + 8] - [8 + 2 + 8]}{-27} = \frac{0 - 18}{-27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{-27} = \frac{[-4 + 8 - 4] - [8 + 2 + 8]}{-27} = \frac{0 - 18}{-27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Si los determinantes de las incógnitas son iguales y el sistema es simétrico en sus coeficientes (como ocurre aquí con las columnas al sustituir los términos independientes), es frecuente que las soluciones sean idénticas. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = \frac{2}{3}, \ y = \frac{2}{3}, \ z = \frac{2}{3}}$$