Límite con Parámetro e Integral Indefinida

**a) Averiguar el valor de $k$ para que sea cierta la siguiente igualdad: $$\lim_{x \to -2} \frac{kx^2 - 4k}{x^2 + 6x + 8} = \frac{3}{2}$$ (1 ptos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = -2$ en la expresión: - Numerador: $k(-2)^2 - 4k = 4k - 4k = 0$ - Denominador: $(-2)^2 + 6(-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital establece que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}(kx^2 - 4k) = 2kx$ - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}(x^2 + 6x + 8) = 2x + 6$ Ahora calculamos el límite de la nueva fracción: $$\lim_{x \to -2} \frac{2kx}{2x + 6} = \frac{2k(-2)}{2(-2) + 6} = \frac{-4k}{-4 + 6} = \frac{-4k}{2} = -2k$$ Según el enunciado, el valor de este límite debe ser $\frac{3}{2}$. Igualamos y despejamos $k$: $$-2k = \frac{3}{2} \implies k = \frac{3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -\frac{3}{4}}$$

**b) Resolver la siguiente integral indefinida: $\int x \sqrt{2x - 1} dx$ (1.5 ptos)** Para resolver esta integral, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES (Polinómica antes que Radical): - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \sqrt{2x - 1} \, dx = (2x - 1)^{1/2} \, dx$ Para hallar $v$, integramos $dv$: $$v = \int (2x - 1)^{1/2} \, dx = \frac{1}{2} \frac{(2x - 1)^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{3}(2x - 1)^{3/2}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Para integrar $(2x-1)^{1/2}$, hemos aplicado la regla de la cadena de forma inversa: $\int f(x)^n f'(x) dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$ (necesitábamos un $2$ multiplicando, que compensamos con un $1/2$ fuera).

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int x \sqrt{2x - 1} \, dx = x \cdot \left[ \frac{1}{3}(2x - 1)^{3/2} \right] - \int \frac{1}{3}(2x - 1)^{3/2} \, dx$$ Resolvemos la segunda integral: $$\int \frac{1}{3}(2x - 1)^{3/2} \, dx = \frac{1}{3} \int (2x - 1)^{3/2} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2} \frac{(2x - 1)^{5/2}}{5/2} \right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} (2x - 1)^{5/2} = \frac{1}{15}(2x - 1)^{5/2}$$ Combinamos ambos términos y añadimos la constante de integración $C$: $$I = \frac{x}{3}(2x - 1)^{3/2} - \frac{1}{15}(2x - 1)^{5/2} + C$$ Opcionalmente, podemos sacar factor común $\frac{1}{15}(2x - 1)^{3/2}$ para simplificar: $$I = \frac{1}{15}(2x - 1)^{3/2} [5x - (2x - 1)] + C = \frac{1}{15}(2x - 1)^{3/2} (3x + 1) + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x \sqrt{2x - 1} \, dx = \frac{x}{3}(2x - 1)^{3/2} - \frac{1}{15}(2x - 1)^{5/2} + C}$$