Estudio del modelo de ventas de un producto

**a) Calcular las tasas de variación media del primero y segundo semestre. Comparar e interpretar los resultados.** La tasa de variación media de una función en un intervalo $[a, b]$ viene dada por: $$TVM[a, b] = \frac{V(b) - V(a)}{b - a}$$ Para el **primer semestre** ($t \in [0, 6]$): $V(0) = \frac{5(0)^2}{8 + 0^2} = 0$ $V(6) = \frac{5(6)^2}{8 + 6^2} = \frac{180}{44} = \frac{45}{11} \approx 4.091$ (miles de unidades) $$TVM[0, 6] = \frac{4.091 - 0}{6 - 0} = \frac{4.091}{6} \approx 0.682$$ Para el **segundo semestre** ($t \in [6, 12]$): $V(12) = \frac{5(12)^2}{8 + 12^2} = \frac{5 \cdot 144}{8 + 144} = \frac{720}{152} = \frac{90}{19} \approx 4.737$ (miles de unidades) $$TVM[6, 12] = \frac{4.737 - 4.091}{12 - 6} = \frac{0.646}{6} \approx 0.108$$ 💡 **Tip:** La TVM representa la velocidad media de crecimiento de las ventas por mes en ese periodo. **Interpretación:** En ambos semestres las ventas crecen (TVM > 0), pero el crecimiento es mucho más rápido en el primer semestre ($0.682$) que en el segundo ($0.108$). Esto indica una desaceleración en el ritmo de crecimiento de las ventas. $$\boxed{TVM_1 \approx 0.682, \quad TVM_2 \approx 0.108}$$

**b) Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justificar si esta afirmación es correcta.** Para comprobar si la función es creciente en su dominio ($t \ge 0$), estudiamos el signo de su primera derivada $V'(t)$. Aplicamos la regla del cociente: $$V'(t) = \frac{(10t)(8 + t^2) - (5t^2)(2t)}{(8 + t^2)^2}$$ $$V'(t) = \frac{80t + 10t^3 - 10t^3}{(8 + t^2)^2} = \frac{80t}{(8 + t^2)^2}$$ Analizamos el signo para $t > 0$: - El denominador $(8 + t^2)^2$ siempre es positivo. - El numerador $80t$ es positivo para todo $t > 0$. Por tanto, $V'(t) > 0$ para todo $t \in (0, +\infty)$, lo que significa que la función es **estrictamente creciente** en su dominio. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) > 0$ en un intervalo, entonces $f(x)$ es creciente en dicho intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es correcta: } V(t) \text{ es creciente para } t \ge 0}$$

**c) ¿En qué momento las ventas alcanzan 4000 unidades?** Dado que $V(t)$ se expresa en miles de unidades, alcanzar 4000 unidades equivale a buscar $t$ tal que $V(t) = 4$. $$\frac{5t^2}{8 + t^2} = 4$$ $$5t^2 = 4(8 + t^2)$$ $$5t^2 = 32 + 4t^2$$ $$5t^2 - 4t^2 = 32 \implies t^2 = 32$$ Como $t \ge 0$, tomamos la raíz positiva: $$t = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ meses}$$ Para ser más precisos, $0.66$ meses son aproximadamente $0.66 \cdot 30 \approx 20$ días. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \approx 5.66 \text{ meses (aproximadamente 5 meses y 20 días)}}$$

**d) Si el producto se vende a $2\text{€}$ la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales. ¿Hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justificar la respuesta.** Primero definimos la función de ingresos $I(t)$. Si $V(t)$ son miles de unidades, el número total de unidades es $1000 \cdot V(t)$. Multiplicando por el precio ($2\text{€}$): $$I(t) = 2 \cdot 1000 \cdot V(t) = 2000 \cdot V(t) \text{ euros}$$ Para saber hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo, calculamos el límite cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} I(t) = \lim_{t \to +\infty} 2000 \cdot \frac{5t^2}{8 + t^2}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el límite de la función $V(t)$ es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t^2}{t^2 + 8} = 5$$ Por tanto: $$\lim_{t \to +\infty} I(t) = 2000 \cdot 5 = 10000$$ Los ingresos tienden a estabilizarse en **10000 €**. Esto corresponde a una asíntota horizontal en la función de ingresos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los ingresos tienden a 10000 €}}$$