Distribución normal de estaturas en una audición

**a) Si se selecciona una persona participante en la audición, averiguar la probabilidad de que tenga una estatura mayor a $156 \text{ cm}$. (1 ptos)** Definimos la variable aleatoria $X$ como la estatura en centímetros de los participantes. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \Rightarrow X \sim N(168, 8)$$ Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ En este apartado nos piden $P(X \gt 156)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 156) = P\left(Z \gt \frac{156 - 168}{8}\right) = P\left(Z \gt \frac{-12}{8}\right) = P(Z \gt -1.5)$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$, que son las que se proporcionan en los exámenes.

Utilizamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss para obtener un valor que podamos buscar en la tabla: $$P(Z \gt -1.5) = P(Z \le 1.5)$$ Buscando en la tabla de la distribución $N(0, 1)$ para el valor $1.5$: $$P(Z \le 1.5) = 0.9332$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 156) = 0.9332}$$ La probabilidad de que un participante mida más de $156 \text{ cm}$ es del **93.32%**.

**b) Se afirma que más del 15% de los participantes en la audición medían más de 1,82 metros. Justifica la veracidad o falsedad de dicha afirmación. (0.75 ptos)** Primero, debemos unificar las unidades. Como nuestra variable $X$ está en centímetros: $$1.82 \text{ m} = 182 \text{ cm}$$ Calculamos la probabilidad $P(X \gt 182)$ tipificando el valor: $$P(X \gt 182) = P\left(Z \gt \frac{182 - 168}{8}\right) = P\left(Z \gt \frac{14}{8}\right) = P(Z \gt 1.75)$$ Como la tabla solo ofrece valores para $P(Z \le k)$, usamos el complementario: $$P(Z \gt 1.75) = 1 - P(Z \le 1.75)$$ Buscamos $1.75$ en la tabla: $$1 - 0.9599 = 0.0401$$ Esto equivale a un **4.01%**. Dado que $4.01\% \lt 15\%$, la afirmación es **falsa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es FALSA, ya que solo el 4.01% mide más de 1.82 m.}}$$

**c) ¿Qué probabilidad hay de que, elegida una persona al azar, su estatura se encuentre entre 166 y 172 cm? (0.75 ptos)** Buscamos $P(166 \le X \le 172)$. Tipificamos ambos límites del intervalo: $$P\left(\frac{166 - 168}{8} \le Z \le \frac{172 - 168}{8}\right) = P\left(\frac{-2}{8} \le Z \le \frac{4}{8}\right) = P(-0.25 \le Z \le 0.5)$$ Calculamos la probabilidad del intervalo como la diferencia de las probabilidades acumuladas: $$P(-0.25 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -0.25)$$ Aplicamos la propiedad del valor negativo $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$: $$P(Z \le 0.5) - [1 - P(Z \le 0.25)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 0.5) = 0.6915$ - $P(Z \le 0.25) = 0.5987$ Operamos: $$0.6915 - (1 - 0.5987) = 0.6915 - 0.4013 = 0.2902$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier intervalo $[a, b]$, $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(166 \le X \le 172) = 0.2902}$$ La probabilidad es del **29.02%**.