Distribuciones de probabilidad: Binomial y Normal

**a) Elegimos 15 docentes españoles, ¿qué probabilidad hay de que haya menos de 2 docentes menores de 30 años? (1 ptos)** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de docentes menores de 30 años en una muestra. Como cada docente tiene una probabilidad fija de ser menor de 30 años ($p = 0.11$) y las selecciones son independientes, $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(15, 0.11)$$ Nos piden la probabilidad de que haya menos de 2 docentes, es decir, $P(X \lt 2)$. Esto equivale a sumar las probabilidades de que haya 0 o 1 docente: $$P(X \lt 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$$ Recordamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ se calcula como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Para $k=0$ siempre es 1 y para $k=1$ siempre es $n$.

Calculamos cada término por separado: 1. Para $k=0$: $$P(X = 0) = \binom{15}{0} (0.11)^0 (0.89)^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0.1741 = 0.1741$$ 2. Para $k=1$: $$P(X = 1) = \binom{15}{1} (0.11)^1 (0.89)^{14} = 15 \cdot 0.11 \cdot 0.1956 = 0.3227$$ Sumamos ambos resultados: $$P(X \lt 2) = 0.1741 + 0.3227 = 0.4968$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 2) = 0.4968}$$

**b) Supongamos que se seleccionan al azar 200 docentes españoles. ¿Qué probabilidad hay de que entre 20 y 30 docentes sean menores de 30 años? (1 ptos)** Ahora tenemos una muestra mayor, $n = 200$, por lo que $X \sim B(200, 0.11)$. Al ser $n$ grande, comprobamos si podemos aproximar por una **distribución normal**: - $n \cdot p = 200 \cdot 0.11 = 22 \gt 5$ - $n \cdot q = 200 \cdot 0.89 = 178 \gt 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $X$ por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: - $\mu = n \cdot p = 22$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0.11 \cdot 0.89} = \sqrt{19.58} \approx 4.425$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(22, 4.425)$.

Queremos calcular $P(20 \le X \le 30)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(20 \le X \le 30) \approx P(19.5 \le X' \le 30.5)$$ Tipificamos la variable usando $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(\frac{19.5 - 22}{4.425} \le Z \le \frac{30.5 - 22}{4.425}\right) = P(-0.565 \le Z \le 1.921)$$ Redondeando a dos decimales para usar las tablas de la normal estándar: $$P(-0.57 \le Z \le 1.92) = P(Z \le 1.92) - P(Z \le -0.57)$$ Usando las propiedades de simetría $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 1.92) - (1 - P(Z \le 0.57)) = 0.9726 - (1 - 0.7157) = 0.9726 - 0.2843 = 0.6883$$ 💡 **Tip:** No olvides la corrección de continuidad $(\pm 0.5)$ al aproximar una Binomial por una Normal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(20 \le X \le 30) \approx 0.6883}$$

**c) En un grupo de 500 docentes españoles, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 30 años? (0.5 ptos)** El enunciado nos da el porcentaje de docentes **menores** de 30 años (11%). Por tanto, el porcentaje de docentes **mayores o iguales** de 30 años es: $$p_{mayores} = 100\% - 11\% = 89\% = 0.89$$ En una distribución binomial, el número esperado o esperanza matemática viene dado por: $$E[X] = n \cdot p$$ Para un grupo de $n = 500$: $$E[X] = 500 \cdot 0.89 = 445$$ Cabe esperar que haya 445 docentes mayores de 30 años. ✅ **Resultado:** $$\boxed{445 \text{ docentes}}$$