Posición relativa de dos rectas y plano paralelo

**a) Estudiar la posición relativa de $r$ y $s$. (1.25 ptos)** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$. Para el vector director, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -7 \\ 2 & 3 & -12 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante Sarrus: $$\vec{v_r} = [2 \cdot (-12)]\mathbf{i} + [(-7) \cdot 2]\mathbf{j} + [1 \cdot 3]\mathbf{k} - ([2 \cdot 2]\mathbf{k} + [3 \cdot (-7)]\mathbf{i} + [(-12) \cdot 1]\mathbf{j})$$ $$\vec{v_r} = -24\mathbf{i} - 14\mathbf{j} + 3\mathbf{k} - (4\mathbf{k} - 21\mathbf{i} - 12\mathbf{j}) = (-3, -2, -1)$$ Podemos usar como vector director $\vec{v_r} = (3, 2, 1)$. Para el punto $P_r$, fijamos $z=0$ en el sistema de $r$: $$\begin{cases} x + 2y = 0 \implies x = -2y \\ 2x + 3y = -1 \end{cases}$$ Sustituyendo: $2(-2y) + 3y = -1 \implies -y = -1 \implies y = 1, x = -2$. Por tanto, **$P_r(-2, 1, 0)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Hacemos lo mismo para la recta $s$: $$\vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -7 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos: $$\vec{v_s} = [(-7) \cdot 1]\mathbf{i} + [(-3) \cdot 1]\mathbf{j} + [2 \cdot (-1)]\mathbf{k} - ([1 \cdot (-7)]\mathbf{k} + [(-1) \cdot (-3)]\mathbf{i} + [1 \cdot 2]\mathbf{j})$$ $$\vec{v_s} = -7\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k} - (-7\mathbf{k} + 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) = (-10, -5, 5)$$ Simplificamos dividiendo por $-5$: **$\vec{v_s} = (2, 1, -1)$**. Para el punto $P_s$, fijamos $z=0$ en el sistema de $s$: $$\begin{cases} 2x - 7y = 22 \\ x - y = 1 \implies x = 1 + y \end{cases}$$ Sustituyendo: $2(1+y) - 7y = 22 \implies 2 - 5y = 22 \implies -5y = 20 \implies y = -4, x = -3$. Por tanto, **$P_s(-3, -4, 0)$**.

Comparamos los vectores directores $\vec{v_r} = (3, 2, 1)$ y $\vec{v_s} = (2, 1, -1)$. Sus componentes no son proporcionales ($\frac{3}{2} \neq \frac{2}{1} \neq \frac{1}{-1}$), por lo que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (-3 - (-2), -4 - 1, 0 - 0) = (-1, -5, 0)$$ $$|M| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & 0 \end{vmatrix} = [3 \cdot 1 \cdot 0] + [2 \cdot (-1) \cdot (-1)] + [1 \cdot 2 \cdot (-5)] - ([(-1) \cdot 1 \cdot 1] + [(-5) \cdot (-1) \cdot 3] + [0 \cdot 2 \cdot 2])$$ $$|M| = (0 + 2 - 10) - (-1 + 15 + 0) = -8 - 14 = -22$$ Como $|M| \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. (1.25 ptos)** Un plano $\pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ queda determinado por: 1. Un punto de la recta $r$: $P_r(-2, 1, 0)$. 2. Dos vectores directores: el de la recta $r$ ($\vec{v_r}$) y el de la recta $s$ ($\vec{v_s}$). $ \pi: \begin{cases} \text{Punto: } P_r(-2, 1, 0) \\ \text{Vector 1: } \vec{v_r} = (3, 2, 1) \\ \text{Vector 2: } \vec{v_s} = (2, 1, -1) \end{cases} $ La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x + 2 & y - 1 & z \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x+2)[2(-1) - 1(1)] - (y-1)[3(-1) - 1(2)] + z[3(1) - 2(2)] = 0$$ $$(x+2)(-3) - (y-1)(-5) + z(-1) = 0$$ $$-3x - 6 + 5y - 5 - z = 0$$ $$-3x + 5y - z - 11 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$3x - 5y + z + 11 = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a una recta, el vector director de esa recta es un vector contenido en el plano (o paralelo a él).

Visualmente, el plano $\pi$ buscado contiene a todos los puntos de $r$ y su inclinación está definida por las direcciones de ambas rectas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - 5y + z + 11 = 0}$$