Simetría respecto a un plano y ángulo entre rectas

**a) Calcular el punto simétrico de $P(-2, 1, 2)$ respecto de $\pi$. (1.25 ptos)** Para calcular el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, seguiremos este procedimiento: 1. Hallar la recta $t$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $t$ y el plano $\pi$ (este punto es el punto medio entre $P$ y $P'$). 3. Utilizar la fórmula del punto medio para obtener $P'$. El vector normal al plano $\pi: 2x + 3y - z = 4$ es: $$\vec{n}_{\pi} = (2, 3, -1)$$ Como la recta $t$ es perpendicular al plano, su vector director será $\vec{v}_t = \vec{n}_{\pi} = (2, 3, -1)$. Dado que pasa por $P(-2, 1, 2)$, su ecuación paramétrica es: $$t: \begin{cases} x = -2 + 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es directamente $(A, B, C)$.

Sustituimos las expresiones de la recta $t$ en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor de $\lambda$ correspondiente al punto de intersección $M$: $$2(-2 + 2\lambda) + 3(1 + 3\lambda) - (2 - \lambda) = 4$$ Desarrollamos la ecuación: $$-4 + 4\lambda + 3 + 9\lambda - 2 + \lambda = 4$$ $$14\lambda - 3 = 4$$ $$14\lambda = 7 \implies \lambda = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = 1/2$ en la recta $t$: $$x_M = -2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = -2 + 1 = -1$$ $$y_M = 1 + 3\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$$ $$z_M = 2 - \left(\frac{1}{2}\right) = 1.5 = \frac{3}{2}$$ $$\boxed{M\left(-1, \frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)}$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el simétrico. Si denotamos $P'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0$$ $$y' = 2\left(\frac{5}{2}\right) - 1 = 5 - 1 = 4$$ $$z' = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = 3 - 2 = 1$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(0, 4, 1)}$$

**b) Calcular el ángulo que forman $r$ y $s$. (1.25 ptos)** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, 1, -1), \quad \vec{n}_2 = (2, 5, 1)$$ Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 - (-5)) - \vec{j}(1 - (-2)) + \vec{k}(5 - 2)$$ $$\vec{v}_r = 6\vec{i} - 3\vec{j} + 3\vec{k} = (6, -3, 3)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $$\vec{v}_r = (2, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas depende únicamente de sus direcciones, por lo que podemos escalar los vectores directores sin alterar el resultado.

La recta $s$ está en forma continua: $$s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$$ De los denominadores extraemos directamente el vector director $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_s = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Un denominador igual a 0 en la forma continua de una recta indica que la coordenada correspondiente del vector director es 0 (la recta está en un plano paralelo a ese eje).

El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas se calcula mediante el coseno del ángulo entre sus vectores directores (tomando el valor absoluto para obtener el ángulo agudo): $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ 1. Producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (2)(1) + (-1)(0) + (1)(1) = 2 + 0 + 1 = 3$$ 2. Módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$$ 3. Sustitución: $$\cos \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{4 \cdot 3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$$ Racionalizando: $$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Determinamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$$ ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = 30^\circ \quad \text{o} \quad \frac{\pi}{6} \text{ rad}}$$