Sistema de ecuaciones lineales: Precios en un bar de tapas

Para resolver el problema, lo primero es definir las incógnitas que representan los precios de cada ración: - $x$: precio de una ración de **escaldón** (en €). - $y$: precio de una ración de **tollos** (en €). - $z$: precio de una ración de **carajacas** (en €). 💡 **Tip:** Definir claramente las variables con sus unidades es el primer paso fundamental en cualquier problema de planteamiento de sistemas.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para obtener las tres ecuaciones: 1. **El precio medio de los tres platos es $5\text{€}$:** $$\frac{x + y + z}{3} = 5 \implies x + y + z = 15$$ 2. **Se ingresaron 255 euros con 30 de escaldón, 20 de tollos y 10 de carajacas:** $$30x + 20y + 10z = 255$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre 5 para facilitar los cálculos: $$6x + 4y + 2z = 51$$ 3. **El triple del precio de las carajacas supera en diez euros al doble del precio de los tollos:** $$3z = 2y + 10 \implies -2y + 3z = 10$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 15 \\ 6x + 4y + 2z = 51 \\ -2y + 3z = 10 \end{cases}$$

Escribimos la matriz ampliada del sistema y aplicamos el método de Gauss para triangularla: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 6 & 4 & 2 & 51 \\ 0 & -2 & 3 & 10 \end{array}\right)$$ Realizamos la operación $F_2 \to F_2 - 6F_1$ para hacer el primer cero en la segunda fila: - $F_2: 6 \quad 4 \quad 2 \quad | \quad 51$ - $-6F_1: -6 \quad -6 \quad -6 \quad | \quad -90$ - Nueva $F_2: 0 \quad -2 \quad -4 \quad | \quad -39$ La matriz queda: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & -2 & -4 & -39 \\ 0 & -2 & 3 & 10 \end{array}\right)$$ Ahora restamos la segunda fila a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_2$): - $F_3: 0 \quad -2 \quad 3 \quad | \quad 10$ - $-F_2: 0 \quad 2 \quad 4 \quad | \quad 39$ - Nueva $F_3: 0 \quad 0 \quad 7 \quad | \quad 49$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & -2 & -4 & -39 \\ 0 & 0 & 7 & 49 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Gauss, busca siempre simplificar las filas si es posible, pero mantén las operaciones claras para evitar errores de signo.

A partir de la matriz escalonada, resolvemos de abajo hacia arriba: 1. **Para $z$:** $$7z = 49 \implies z = \frac{49}{7} = 7$$ 2. **Para $y$:** $$-2y - 4z = -39 \implies -2y - 4(7) = -39$$ $$-2y - 28 = -39 \implies -2y = -39 + 28$$ $$-2y = -11 \implies y = \frac{11}{2} = 5.5$$ 3. **Para $x$:** $$x + y + z = 15 \implies x + 5.5 + 7 = 15$$ $$x + 12.5 = 15 \implies x = 15 - 12.5 = 2.5$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Precio escaldón (x): } & 2.5\text{ €} \\ \text{Precio tollos (y): } & 5.5\text{ €} \\ \text{Precio carajacas (z): } & 7\text{ €} \end{aligned}}$$