Ecuaciones matriciales e invertibilidad

**a) Comprobar si la matriz $M = 2I_3 + B^t$ tiene inversa. Donde $I_3$ la matriz identidad de orden 3.** Primero, obtenemos la traspuesta de $B$ intercambiando sus filas por columnas: $$B^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz $M = 2I_3 + B^t$: $$M = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $M$ por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. Desarrollamos por la segunda columna ya que tiene dos ceros: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 - 1) = 1$$ Como $|M| = 1 \neq 0$, la matriz **$M$ tiene inversa**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $M$ es regular (invertible) si y solo si su determinante es no nulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí tiene inversa porque } |M| = 1 \neq 0}$$

**b) Justificar que existe la matriz $X$ que verifica la ecuación siguiente: $2X + C = A - X \cdot B^t$. Calcular razonadamente dicha matriz $X$.** Agrupamos los términos con $X$ a un lado de la igualdad: $$2X + X \cdot B^t = A - C$$ Sabiendo que $2X = X \cdot (2I_3)$, podemos sacar factor común $X$ por la izquierda: $$X(2I_3 + B^t) = A - C$$ Observamos que el paréntesis es exactamente la matriz $M$ calculada en el apartado anterior: $$X \cdot M = A - C$$ Como hemos demostrado que existe $M^{-1}$, podemos multiplicar por $M^{-1}$ por la derecha en ambos miembros: $$X \cdot M \cdot M^{-1} = (A - C) \cdot M^{-1} \implies X = (A - C) \cdot M^{-1}$$ **Justificación de existencia:** La matriz $X$ existe porque es el resultado de operar matrices existentes ($A$ y $C$) y la inversa de $M$, la cual hemos comprobado que existe en el apartado (a). 💡 **Tip:** Al despejar ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si multiplicas por $M^{-1}$ a la derecha en un lado, debes hacerlo a la derecha en el otro.

Calculamos la resta de las matrices $A$ y $C$: $$A - C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A - C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} (Adj(M))^t$. Ya sabemos que $|M| = 1$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $M$: - $M_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $M_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4$; $M_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $M_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$; $M_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1$; $M_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $M_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $M_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2$; $M_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$Adj(M) = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta para obtener la inversa (ya que $|M|=1$): $$M^{-1} = (Adj(M))^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = (A - C) \cdot M^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(2\cdot2 + 0 + 0, \, 2\cdot0 + 0 + 0, \, 2\cdot(-1) + 0 + 0) = (4, 0, -2)$ - Fila 2: $((-1)\cdot2 + (-3)\cdot(-4) + 0, \, (-1)\cdot0 + (-3)\cdot1 + 0, \, (-1)\cdot(-1) + (-3)\cdot2 + 0) = (10, -3, -5)$ - Fila 3: $(2\cdot2 + 2\cdot(-4) + 0, \, 2\cdot0 + 2\cdot1 + 0, \, 2\cdot(-1) + 2\cdot2 + 0) = (-4, 2, 2)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 10 & -3 & -5 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}}$$