Optimización de la superficie de una zona ajardinada

**Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?** Llamamos $x$ a la base de la casa e $y$ a su altura (profundidad). Sabemos que la superficie de la casa es de $240 \text{ m}^2$, por lo que la relación entre las variables es: $$x \cdot y = 240 \implies y = \frac{240}{x}$$ Según la imagen, la zona ajardinada rodea la casa con márgenes laterales de $3 \text{ m}$ y $7 \text{ m}$, y márgenes superior e inferior de $3 \text{ m}$ cada uno. Por tanto, las dimensiones totales del terreno (casa + jardín) son: - Base total: $x + 3 + 7 = x + 10$ - Altura total: $y + 3 + 3 = y + 6$ La superficie de la zona ajardinada ($S_G$) es la superficie total menos la superficie de la casa: $$S_G = (x + 10)(y + 6) - 240$$ 💡 **Tip:** Minimizar el área del jardín es equivalente a minimizar el área total, ya que el área de la casa es constante ($240 \text{ m}^2$).

Sustituimos $y = \frac{240}{x}$ en la expresión de la superficie del jardín para obtener una función que dependa solo de $x$: $$S_G(x) = (x + 10)\left(\frac{240}{x} + 6\right) - 240$$ Desarrollamos el producto: $$S_G(x) = x \cdot \frac{240}{x} + 6x + 10 \cdot \frac{240}{x} + 60 - 240$$ $$S_G(x) = 240 + 6x + \frac{2400}{x} + 60 - 240$$ $$S_G(x) = 6x + \frac{2400}{x} + 60$$ El dominio de esta función, dado el contexto del problema, es $x \in (0, +\infty)$. $$\boxed{S_G(x) = 6x + \frac{2400}{x} + 60}$$

Para encontrar el mínimo, derivamos la función $S_G(x)$ e igualamos a cero: $$S'_G(x) = 6 - \frac{2400}{x^2}$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$6 - \frac{2400}{x^2} = 0 \implies 6 = \frac{2400}{x^2} \implies x^2 = \frac{2400}{6} = 400$$ Tomamos la raíz cuadrada positiva (ya que una dimensión no puede ser negativa): $$x = \sqrt{400} = 20 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$.

Comprobamos que se trata de un mínimo utilizando la segunda derivada: $$S''_G(x) = \left(6 - 2400x^{-2}\right)' = 0 - 2400(-2)x^{-3} = \frac{4800}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 20$: $$S''_G(20) = \frac{4800}{20^3} = \frac{4800}{8000} = 0.6 > 0$$ Como $S''_G(20) > 0$, existe un **mínimo relativo** en $x = 20$. También podemos observar el cambio de signo de la derivada primera: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 20) & 20 & (20, +\infty)\\ \hline S'_G(x) & - & 0 & + \end{array}$$ La función decrece antes de $x=20$ y crece después, confirmando el mínimo.

Calculamos la otra dimensión de la casa ($y$): $$y = \frac{240}{20} = 12 \text{ m}$$ Calculamos la superficie mínima de la zona ajardinada sustituyendo $x = 20$ en $S_G(x)$: $$S_G(20) = 6(20) + \frac{2400}{20} + 60 = 120 + 120 + 60 = 300 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones casa: } 20 \text{ m de base y } 12 \text{ m de altura.}}$$ $$\boxed{\text{Área del jardín: } 300 \text{ m}^2}$$