Cálculo de una función polinómica a partir de su segunda derivada y un extremo

Del enunciado extraemos las siguientes condiciones fundamentales para determinar la función $f(x)$: 1. **Segunda derivada:** $f''(x) = 2x + 3$. 2. **Punto mínimo en $M(1, 2)$:** * Como el punto $M$ está en la gráfica, la función pasa por él: $f(1) = 2$. * Como en $x = 1$ hay un extremo relativo (mínimo), la primera derivada en ese punto debe ser cero: $f'(1) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista un extremo relativo en un punto derivable, la primera derivada en dicho punto debe anularse ($f'(a)=0$).

Para hallar $f'(x)$, integramos la segunda derivada $f''(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int (2x + 3) \, dx$$ Aplicando las reglas de integración básica: $$f'(x) = x^2 + 3x + C$$ Utilizamos la condición del mínimo ($f'(1) = 0$) para calcular la constante $C$: $$f'(1) = 1^2 + 3(1) + C = 0$$ $$1 + 3 + C = 0 \implies 4 + C = 0 \implies C = -4$$ Por lo tanto, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = x^2 + 3x - 4}$$ 💡 **Tip:** La integral de una potencia es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Para hallar $f(x)$, integramos la primera derivada $f'(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^2 + 3x - 4) \, dx$$ Integramos término a término: $$f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x + D$$ Ahora usamos la condición de que la función pasa por el punto $M(1, 2)$, es decir, $f(1) = 2$: $$f(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} - 4(1) + D = 2$$ $$\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 + D = 2$$ Para operar, buscamos el mínimo común múltiplo (6): $$\frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{24}{6} + D = 2$$ $$-\frac{13}{6} + D = 2 \implies D = 2 + \frac{13}{6} = \frac{12 + 13}{6} = \frac{25}{6}$$ La expresión de la función es: $$\boxed{f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x + \frac{25}{6}}$$

Aunque el ejercicio no lo pide explícitamente, es conveniente comprobar que $x=1$ es realmente un **mínimo** usando la segunda derivada: $$f''(x) = 2x + 3 \implies f''(1) = 2(1) + 3 = 5$$ Como $f'(1) = 0$ y $f''(1) = 5 \gt 0$, el criterio de la segunda derivada confirma que en $x=1$ hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4x + \frac{25}{6}}$$