Propiedades de determinantes y ángulo entre vectores

**a) [1,25 puntos] Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6$ con $a, b, c, x, y, z \in \mathbb{R}$. Calcula el valor de $\begin{vmatrix} 1/2 & 3/2 & 5/2 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ 4x & 4y & 4z \end{vmatrix}$ e indica en cada paso las propiedades que utilizas.** Partimos del determinante que queremos calcular: $$D' = \begin{vmatrix} 1/2 & 3/2 & 5/2 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ 4x & 4y & 4z \end{vmatrix}$$ En primer lugar, aplicamos la propiedad que dice que si todos los elementos de una fila están multiplicados por un número, este puede salir fuera del determinante multiplicándolo. Extraemos $1/2$ de la primera fila ($F_1$) y $4$ de la tercera fila ($F_3$): $$D' = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a diferencia de las matrices (donde el escalar multiplica a todos los elementos), en los determinantes el factor común se extrae de forma independiente por cada fila o columna.

Ahora buscamos que la segunda fila se parezca a la del determinante original. Observamos que en $F_2$ tenemos $(a+2, b+6, c+10)$, que es equivalente a $(a, b, c) + 2 \cdot (1, 3, 5)$. Aplicamos la propiedad: **El valor de un determinante no varía si a una fila se le suma una combinación lineal de las demás.** Realizamos la operación $F_2 \to F_2 - 2F_1$: $$D' = 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ (a+2) - 2(1) & (b+6) - 2(3) & (c+10) - 2(5) \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ $$D' = 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ Como sabemos por el enunciado que $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6$, sustituimos: $$D' = 2 \cdot 6 = 12$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{12}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (3, 2, 3)$.** Para calcular el ángulo $\alpha$ entre dos vectores, utilizamos la definición de producto escalar: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Calculamos el **producto escalar**: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1 \cdot 3) + (1 \cdot 2) + (1 \cdot 3) = 3 + 2 + 3 = 8$$ Calculamos los **módulos** de cada vector: $$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar es la suma de los productos de las componentes correspondientes: $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula del coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{22}} = \frac{8}{\sqrt{66}}$$ Para hallar el ángulo $\alpha$, aplicamos la función arcocoseno: $$\alpha = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)$$ Calculamos el valor numérico aproximado: $$\frac{8}{\sqrt{66}} \approx \frac{8}{8,124} \approx 0,9847$$ $$\alpha \approx 10,05^\circ$$ También podemos expresarlo en radianes: $$\alpha \approx 0,175 \text{ rad}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right) \approx 10,05^\circ}$$