Integral por partes y probabilidad geométrica

**7. a) [1 punto] Resuelve la siguiente integral:** $$\int (x + 3)e^{-2x} dx$$ Observamos que la integral es el producto de un polinomio $(x+3)$ por una función exponencial $e^{-2x}$. Este tipo de integrales se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**. Recordamos la fórmula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Siguiendo la regla mnemotécnica ALPES, elegimos: - $u = x + 3 \implies du = dx$ - $dv = e^{-2x} dx \implies v = \int e^{-2x} dx = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}$ 💡 **Tip:** Al elegir $u$ como el polinomio, conseguimos que al derivar el grado disminuya (en este caso a una constante), simplificando la nueva integral.

Sustituimos los valores en la fórmula de integración por partes: $$\int (x + 3)e^{-2x} dx = (x+3)\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int -\frac{1}{2}e^{-2x} dx$$ Simplificamos la expresión: $$= -\frac{x+3}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx$$ Resolvemos la integral restante, que es inmediata: $$= -\frac{x+3}{2}e^{-2x} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) + C$$ $$= -\frac{x+3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$$ Para dar un resultado más elegante, podemos sacar factor común $-\dfrac{1}{4}e^{-2x}$: $$= -\frac{1}{4}e^{-2x} [2(x+3) + 1] + C = -\frac{1}{4}e^{-2x} (2x+6+1) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-\dfrac{2x+7}{4}e^{-2x} + C}$$

**b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?** Definimos los sucesos en cada tirada: - Obtener un uno: $U = \{1\}$ con $P(U) = \dfrac{1}{6}$ - No obtener un uno: $\bar{U} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ con $P(\bar{U}) = \dfrac{5}{6}$ La puntuación $X$ es el número de unos seguidos antes de que salga otro número. 1. **Probabilidad de puntuación 0 ($X=0$):** Ocurre si en la primera tirada no sale un 1. $$P(X=0) = P(\bar{U}) = \frac{5}{6}$$ 2. **Probabilidad de puntuación 1 ($X=1$):** Ocurre si sale un 1 en la primera tirada y algo distinto de 1 en la segunda. $$P(X=1) = P(U) \cdot P(\bar{U}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$$ 3. **Probabilidad de puntuación 3 ($X=3$):** Ocurre si salen tres unos seguidos y luego un número distinto de 1. $$P(X=3) = P(U) \cdot P(U) \cdot P(U) \cdot P(\bar{U}) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{1296}$$ 💡 **Tip:** Estamos ante una distribución geométrica que mide el número de éxitos antes del primer fracaso (donde "éxito" es sacar un 1).

**b.2) [0,75 puntos] ¿Podrías dar la probabilidad de obtener una puntuación de $n \in \mathbb{N}$?** Para obtener una puntuación de $n$, el jugador debe haber obtenido exactamente $n$ veces consecutivas el número 1, y en la tirada $n+1$ debe haber obtenido cualquier otro resultado para dejar de tirar. Como las tiradas son independientes, multiplicamos las probabilidades de cada suceso: - Probabilidad de obtener $n$ unos: $P(U)^n = \left(\dfrac{1}{6}\right)^n$ - Probabilidad de que la siguiente no sea un uno: $P(\bar{U}) = \dfrac{5}{6}$ Por tanto, la probabilidad general para cualquier $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ es: $$P(X=n) = \left(\frac{1}{6}\right)^n \cdot \frac{5}{6}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X=n) = \dfrac{5}{6^{n+1}}}$$