Cálculo de límites y distancias en el espacio

**a) [1 punto] Calcula el límite siguiente: $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9}$$** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x = 3$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: - Numerador: $3^3 - 3(3^2) + 3(3) - 9 = 27 - 27 + 9 - 9 = 0$ - Denominador: $3(3) - 9 = 9 - 9 = 0$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**. 💡 **Tip:** Cuando al evaluar un límite obtenemos $\frac{0}{0}$ en funciones derivables, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital para resolverlo de forma directa.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x - 9)}{\frac{d}{dx}(3x - 9)}$$ Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $3x^2 - 6x + 3$ - Derivada del denominador: $3$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 6x + 3}{3}$$ Ahora evaluamos de nuevo para $x = 3$: $$\frac{3(3)^2 - 6(3) + 3}{3} = \frac{3(9) - 18 + 3}{3} = \frac{27 - 18 + 3}{3} = \frac{12}{3} = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{4}$$

**b) [1,5 puntos] Sean el punto $A(1, 2, 1)$ y el plano $\pi \equiv x - y = 1$. Calcula la distancia del punto $A$ al plano $\pi$.** Para calcular la distancia de un punto a un plano, primero escribimos la ecuación del plano en su forma general $Ax + By + Cz + D = 0$. Dado $\pi \equiv x - y = 1$, pasamos el término independiente al primer miembro: $$\pi \equiv x - y - 1 = 0$$ Los coeficientes son: - $A = 1$ - $B = -1$ - $C = 0$ - $D = -1$ El punto es $A(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ viene dada por la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Aplicamos los valores del punto y del plano en la fórmula de la distancia: $$d(A, \pi) = \frac{|1(1) + (-1)(2) + 0(1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}}$$ Operamos en el numerador: $$|1 - 2 - 1| = |-2| = 2$$ Operamos en el denominador: $$\sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$ Por tanto, la distancia es: $$d(A, \pi) = \frac{2}{\sqrt{2}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$: $$d(A, \pi) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1,414 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(A, \pi) = \sqrt{2} \text{ u}}$$