Área entre curvas y estudio del rango de una matriz con parámetros

**a) [1 punto] Encontrar el área encerrada por la recta $x = -1$ y las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 2x + 3$ y $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$.** Para determinar los límites de integración, primero buscamos si las funciones se cortan entre sí igualando sus expresiones: $$x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{2}x^2 + 1$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$2x^2 - 4x + 6 = x^2 + 2$$ $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$ Las funciones se cortan en un único punto, $x = 2$. Dado que el enunciado nos da otra frontera en $x = -1$, el recinto está comprendido en el intervalo $[-1, 2]$. 💡 **Tip:** Cuando solo se da una recta vertical ($x = -1$), el otro límite suele ser el punto de intersección de las curvas.

Para saber cuál función está por encima, evaluamos un punto intermedio del intervalo $[-1, 2]$, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$ - $g(0) = \frac{1}{2}(0)^2 + 1 = 1$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$ en todo el intervalo. El área viene dada por la integral definida: $$Area = \int_{-1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-1}^{2} \left( x^2 - 2x + 3 - \left( \frac{1}{2}x^2 + 1 \right) \right) dx$$ $$Area = \int_{-1}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 \right) dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f$ y $g$ en $[a, b]$ es $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$.

Aplicamos la Regla de Barrow calculando primero la primitiva: $$\int \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 \right) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x = \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x.$$ Ahora evaluamos en los límites: $$Area = \left[ \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x \right]_{-1}^{2}$$ $$Area = \left( \frac{2^3}{6} - 2^2 + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{6} - (-1)^2 + 2(-1) \right)$$ $$Area = \left( \frac{8}{6} - 4 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{6} - 1 - 2 \right) = \frac{4}{3} - \left( -\frac{19}{6} \right)$$ $$Area = \frac{8}{6} + \frac{19}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{Area = 4.5 \text{ unidades cuadradas}}$$

**b) [1,5 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & a \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & a + 1 & a + 1 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$. Estudia el rango de $A$ en función de los valores de $a$.** Para estudiar el rango, calculamos el determinante de $A$. Desarrollamos por la segunda fila, ya que tiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & a \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & a + 1 & a + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = -(-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ a + 1 & a + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = 1 \cdot [1 \cdot (a+1) - a \cdot (a+1)]$$ $$|A| = (a+1) \cdot (1-a) = 1 - a^2.$$ 💡 **Tip:** Desarrollar un determinante por una fila o columna con muchos ceros simplifica enormemente los cálculos.

Igualamos el determinante a cero para ver cuándo la matriz no tiene rango máximo ($3$): $$1 - a^2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = 1, \quad a = -1.$$ **Caso 1: Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$** El determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$), por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\boxed{\text{Si } a \neq \pm 1, \text{ rango}(A) = 3}$$

**Caso 2: Si $a = 1$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1 \neq 0.$$ Por tanto, **rango(A) = 2**. **Caso 3: Si $a = -1$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que la segunda y tercera fila son iguales. El rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0.$$ Por tanto, **rango(A) = 2**. ✅ **Resultado final del estudio del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } a = 1 \text{ o } a = -1, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$