Geometría en el espacio 2023 Castilla la Mancha
Geometría en el espacio: Incidencia y perpendicularidad
4. Sean el plano $\pi \equiv a \cdot x + y - z = 1$, con $a \in \mathbb{R}$, y los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(b, 1, -1)$, con $b \in \mathbb{R}$.
a) [1,5 puntos] Determina el valor de $a, b$ para que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular al plano $\pi$ y el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$.
b) [1 puntos] Con los valores de $a, b$ obtenidos en el apartado anterior, escribe la ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano $\pi$.
Paso 1
Condición de pertenencia del punto A al plano
**a) [1,5 puntos] Determina el valor de $a, b$ para que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular al plano $\pi$ y el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$.**
En primer lugar, para que el punto $A(1, 0, 0)$ esté contenido en el plano $\pi \equiv a \cdot x + y - z = 1$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano.
Sustituimos $x = 1$, $y = 0$ y $z = 0$ en la ecuación de $\pi$:
$$a(1) + 0 - 0 = 1$$
$$a = 1$$
💡 **Tip:** Un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ pertenece a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ si al sustituir sus coordenadas se cumple la igualdad.
$$\boxed{a = 1}$$
Paso 2
Condición de perpendicularidad entre vector y plano
Para que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular al plano $\pi$, dicho vector debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$.
1. Calculamos el vector $\vec{AB}$:
$$\vec{AB} = B - A = (b, 1, -1) - (1, 0, 0) = (b - 1, 1, -1)$$
2. Identificamos el vector normal del plano $\pi$ (usando $a = 1$):
$$\pi \equiv 1 \cdot x + y - z = 1 \implies \vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$$
Para que $\vec{AB} \parallel \vec{n_\pi}$, sus componentes deben ser proporcionales:
$$\frac{b - 1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{-1}{-1}$$
💡 **Tip:** Si un vector es perpendicular a un plano, su dirección coincide con la del vector normal del plano $\vec{n} = (A, B, C)$.
Paso 3
Cálculo del parámetro b
De la relación de proporcionalidad anterior:
$$\frac{b - 1}{1} = 1$$
$$b - 1 = 1$$
$$b = 2$$
Las otras dos fracciones son iguales a $1$, por lo que la condición de paralelismo es consistente.
Concluimos que los valores buscados son:
$$\boxed{a = 1, \quad b = 2}$$
Paso 4
Construcción de la recta perpendicular
**b) [1 puntos] Con los valores de $a, b$ obtenidos en el apartado anterior, escribe la ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano $\pi$.**
Para escribir la ecuación de una recta $r$, necesitamos un punto y un vector director.
- El punto es $A(1, 0, 0)$.
- Como la recta debe ser perpendicular al plano $\pi \equiv x + y - z = 1$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el vector normal del plano:
$$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$$
Podemos expresar la recta en forma continua:
$$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{-1}$$
O de forma simplificada:
$$\boxed{x - 1 = y = -z}$$
💡 **Tip:** La ecuación continua de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector director $(v_x, v_y, v_z)$ es $\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$.