Probabilidad y Estadística 2023 Castilla la Mancha
Probabilidad condicionada y Distribución Binomial
3. a) Tenemos dos urnas con bolas. La urna A tiene 6 bolas rojas y 8 negras y la urna B tiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras. Disponemos de un dado de 12 caras numeradas del 1 al 12. Lanzamos el dado y si sale un número múltiplo de 4 se extrae una bola de la urna A. Si sale otro número se extrae una bola de la urna B. Calcula razonadamente:
a.1) [0,5 puntos] La probabilidad de obtener una bola roja.
a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.
b) Una empresa de mensajería sabe que la probabilidad de que el destinatario esté ausente (y no se pueda hacer la entrega) durante el reparto es del 25 %. Un repartidor de esta empresa ha de entregar 6 paquetes.
b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?
b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
**a.1) [0,5 puntos] La probabilidad de obtener una bola roja.**
En primer lugar, definimos los sucesos del experimento:
- $A$: Seleccionar la urna A.
- $B$: Seleccionar la urna B.
- $R$: Extraer bola roja.
- $N$: Extraer bola negra.
Calculamos las probabilidades de elegir cada urna basándonos en el dado de 12 caras:
- Múltiplos de 4 en el dado: $\{4, 8, 12\}$. Por tanto, hay 3 casos favorables.
- $P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$
- $P(B) = 1 - P(A) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$
Analizamos la composición de las urnas:
- Urna A (14 bolas): 6 rojas, 8 negras $\rightarrow P(R|A) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ y $P(N|A) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
- Urna B (18 bolas): 8 rojas, 10 negras $\rightarrow P(R|B) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ y $P(N|B) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Probabilidad total de obtener bola roja
Para hallar $P(R)$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(R) = \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}\right)$$
$$P(R) = \frac{3}{28} + \frac{12}{36} = \frac{3}{28} + \frac{1}{3}$$
Buscamos denominador común (m.c.m. de 28 y 3 es 84):
$$P(R) = \frac{9}{84} + \frac{28}{84} = \frac{37}{84} \approx 0.4405$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma los productos de las probabilidades de cada camino que termina en el suceso deseado (en este caso, bola roja).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(R) = \frac{37}{84} \approx 0.4405}$$
Paso 3
Probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.**
Se nos pide calcular $P(A|R)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|R) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{P(A) \cdot P(R|A)}{P(R)}$$
Utilizamos los valores ya calculados:
- $P(A \cap R) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{28}$
- $P(R) = \frac{37}{84}$
Sustituimos:
$$P(A|R) = \frac{3/28}{37/84} = \frac{3}{28} \cdot \frac{84}{37}$$
Como $84 = 28 \cdot 3$, simplificamos:
$$P(A|R) = \frac{3 \cdot 3}{37} = \frac{9}{37} \approx 0.2432$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "dar marcha atrás" en el árbol, calculando la probabilidad de una causa dado un efecto observado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|R) = \frac{9}{37} \approx 0.2432}$$
Paso 4
Modelizar con la Distribución Binomial
**b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de destinatarios ausentes en un grupo de 6 paquetes.
El experimento sigue una **Distribución Binomial** $B(n, p)$ donde:
- $n = 6$ (número de paquetes o ensayos).
- $p = 0.25$ (probabilidad de estar ausente o "éxito" en este contexto).
- $q = 1 - p = 0.75$ (probabilidad de estar presente).
$$X \sim B(6, \, 0.25)$$
La pregunta nos pide la probabilidad de que no pueda entregar exactamente uno, es decir, que haya **exactamente un ausente**: $P(X=1)$.
Fórmula de la Binomial: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$
$$P(X=1) = \binom{6}{1} \cdot (0.25)^1 \cdot (0.75)^{6-1}$$
💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{1}$ es siempre igual a $n$.
Paso 5
Cálculo de la probabilidad de un ausente
Calculamos el valor de $P(X=1)$:
$$P(X=1) = 6 \cdot 0.25 \cdot (0.75)^5$$
$$P(X=1) = 1.5 \cdot 0.2373046875 = 0.355957...$$
Redondeando a cuatro decimales:
$$P(X=1) \approx 0.3560$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X=1) \approx 0.3560}$$
Paso 6
Probabilidad de entregar al menos un paquete
**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?**
Llamamos "entregar un paquete" a que el destinatario **no esté ausente**. Sea $Y$ el número de paquetes entregados. $Y$ sigue una $B(6, \, 0.75)$.
Se nos pide $P(Y \ge 1)$.
Es mucho más sencillo calcularlo mediante el **suceso complementario**:
$$P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0)$$
$Y=0$ significa que no se entrega ningún paquete, es decir, los 6 destinatarios están ausentes ($X=6$).
Calculamos $P(Y=0)$:
$$P(Y=0) = \binom{6}{0} \cdot (0.75)^0 \cdot (0.25)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.25)^6$$
$$P(Y=0) = 0.25^6 = 0.00024414...$$
Ahora restamos de la unidad:
$$P(Y \ge 1) = 1 - 0.00024414 = 0.9997558...$$
💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido calcular $1 - P(\text{ninguno})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Y \ge 1) \approx 0.9998}$$