Optimización del área de un aparcamiento

**a) Escribe el área del aparcamiento en función del valor $h$.** Primero, identificamos los elementos que componen el perímetro ($P$) de la figura. El contorno está formado por: - El lado izquierdo del rectángulo ($h$). - El lado superior e inferior del rectángulo ($2r$). - El arco del semicírculo, que es la mitad de una circunferencia de radio $R = h/2$. Su longitud es $\frac{1}{2}(2\pi R) = \pi \frac{h}{2}$. Sumamos estos componentes e igualamos al perímetro total dado ($80 \text{ m}$): $$P = h + 2r + \frac{\pi h}{2} = 80$$ Despejamos la variable $r$ en función de $h$ para poder sustituirla más adelante en la fórmula del área: $$2r = 80 - h - \frac{\pi h}{2} \implies 2r = 80 - h\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)$$ $$2r = 80 - h\left(\frac{2 + \pi}{2}\right) \implies r = 40 - h\left(\frac{2 + \pi}{4}\right)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con restricciones, el primer paso suele ser usar el dato fijo (el perímetro en este caso) para dejar una variable en función de la otra.

El área total ($A$) es la suma del área del rectángulo y el área del semicírculo: $$A = \text{Área}_{\text{rect}} + \text{Área}_{\text{semi}} = h \cdot r + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 = hr + \frac{\pi h^2}{8}$$ Sustituimos la expresión de $r$ hallada en el paso anterior: $$A(h) = h \left(40 - h \cdot \frac{2 + \pi}{4}\right) + \frac{\pi h^2}{8}$$ $$A(h) = 40h - \frac{2 + \pi}{4} h^2 + \frac{\pi}{8} h^2$$ Para simplificar, buscamos un denominador común (8): $$A(h) = 40h - \frac{4 + 2\pi}{8} h^2 + \frac{\pi}{8} h^2 = 40h - \left(\frac{4 + 2\pi - \pi}{8}\right) h^2$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{A(h) = 40h - \left(\frac{4 + \pi}{8}\right)h^2}$$

**b) ¿Cuánto deben valer $h$ y $r$ para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?** Para maximizar el área, derivamos la función $A(h)$ respecto a $h$: $$A'(h) = \frac{d}{dh} \left[ 40h - \left(\frac{4 + \pi}{8}\right)h^2 \right] = 40 - 2 \cdot \left(\frac{4 + \pi}{8}\right) h$$ $$A'(h) = 40 - \left(\frac{4 + \pi}{4}\right) h$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$40 - \left(\frac{4 + \pi}{4}\right) h = 0 \implies 40 = \left(\frac{4 + \pi}{4}\right) h$$ $$160 = (4 + \pi) h \implies h = \frac{160}{4 + \pi} \approx 22.40 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** El máximo de una función continua y derivable suele encontrarse donde su pendiente (derivada) es nula.

Para confirmar que se trata de un máximo, calculamos la segunda derivada: $$A''(h) = -\frac{4 + \pi}{4}$$ Como $A''(h) \lt 0$ para cualquier valor de $h$, la función es cóncava hacia abajo y el punto crítico hallado es un **máximo relativo**. Finalmente, calculamos el valor de $r$ sustituyendo $h = \frac{160}{4 + \pi}$ en la ecuación de $r$ obtenida en el primer paso: $$r = 40 - \left(\frac{2 + \pi}{4}\right) \cdot \frac{160}{4 + \pi} = 40 - 40 \cdot \left(\frac{2 + \pi}{4 + \pi}\right)$$ $$r = \frac{40(4 + \pi) - 40(2 + \pi)}{4 + \pi} = \frac{160 + 40\pi - 80 - 40\pi}{4 + \pi} = \frac{80}{4 + \pi} \approx 11.20 \text{ m}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{h = \frac{160}{4 + \pi} \approx 22.40 \text{ m}, \quad r = \frac{80}{4 + \pi} \approx 11.20 \text{ m}}$$