Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [1,75 punto] Discute cómo es el sistema en función de los valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema, representamos las matrices de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & a & 1 & 2 \\ 2 & 1 & a & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = [(-2) \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1] - [2 \cdot a \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot a + a \cdot 1 \cdot (-2)]$$ $$|A| = (-2a^2 + 2 + 1) - (-2a - a - 2) = -2a^2 + 3 - (-3a - 2)$$ $$|A| = -2a^2 + 3a + 5$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que si el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada coinciden con el número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-2a^2 + 3a + 5 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(5)}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{-4} = \frac{-3 \pm 7}{-4}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $a_1 = \dfrac{-3 + 7}{-4} = \dfrac{4}{-4} = -1$ 2. $a_2 = \dfrac{-3 - 7}{-4} = \dfrac{-10}{-4} = \dfrac{5}{2} = 2.5$ Por tanto, el determinante se anula si $a = -1$ o $a = \frac{5}{2}$.

Si $a \neq -1$ y $a \neq \frac{5}{2}$: En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes es el máximo posible: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ solo tiene 3 filas, su rango no puede ser mayor que 3, y como contiene a $A$, su rango también es 3. El número de incógnitas es $n=3$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única.

Si $a = -1$: La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de $A^*$ estudiando el menor de orden 3 que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [6 + 4 + 1] - [2 + (-4) + (-3)] = 11 - (-5) = 16 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como **$\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$**, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**.

Si $a = 5/2$ (o $2.5$): La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2.5 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2.5 & 3 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) \lt 3$. Tomamos el menor: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 2.5 \end{vmatrix} = -5 - (-1) = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ con el menor que incluye la columna de resultados: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2.5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [-15 + 4 + 1] - [-5 + (-4) + (-3)] = -10 - (-12) = 2 \neq 0$$ Como el menor de orden 3 de la ampliada es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como **$\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$**, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resumen de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq -1, a \neq 5/2: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ a = -1: \text{ Sistema Incompatible} \\ a = 5/2: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.** Como $a=2$ es distinto de $-1$ y $5/2$, el sistema es **SCD**. El sistema es: $$\begin{cases} -2x + y - z = -1 \\ -x + 2y + z = 2 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$$ Calculamos el determinante de $A$ para $a=2$: $$|A| = -2(2)^2 + 3(2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$$ Usamos la Regla de Cramer para hallar las incógnitas: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \frac{-4 + 3 - 2 - (-6 - 1 + 4)}{3} = \frac{-3 - (-3)}{3} = 0$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \frac{-8 - 2 + 3 - (-4 - 6 + 2)}{3} = \frac{-7 - (-8)}{3} = \frac{1}{3}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \frac{-12 + 4 + 1 - (-4 - 4 - 3)}{3} = \frac{-7 - (-11)}{3} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** Para resolver por Cramer, sustituimos la columna de la incógnita que buscamos por la columna de términos independientes. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, \quad y = \frac{1}{3}, \quad z = \frac{4}{3}}$$