Rango de una matriz y posición relativa de recta y plano

**a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula el rango de $A$.** Para calcular el rango de la matriz $A$, aplicamos transformaciones elementales por filas (método de Gauss) para obtener una matriz escalonada. Buscamos hacer ceros por debajo de los elementos de la diagonal principal. Partimos de la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la operación $F_3 \to F_3 - 2F_1$ para anular el primer elemento de la tercera fila: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 - 2(1) & 1 - 2(1) & 0 - 2(1) & 1 - 2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El rango es el número de filas linealmente independientes de una matriz. El método de Gauss nos permite visualizar esto fácilmente al escalonar la matriz.

Ahora realizamos la operación $F_3 \to F_3 + F_2$ para anular el segundo elemento de la tercera fila: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & -1 + 1 & -2 + 2 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Como la matriz resultante tiene **2 filas no nulas**, el rango de la matriz $A$ es 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rg}(A) = 2}$$

**b) [1,25 puntos] Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x + y + z = 1$, $\pi_2 \equiv y + 2z = 1$. Por otro lado, consideraremos el plano $\pi_3 \equiv 2x + y = 1$. Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi_3$. El resultado del apartado anterior te puede ayudar.** Para estudiar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi_3$, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + 2z = 1 \\ 2x + y = 1 \end{cases}$$ La matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $A'$ de este sistema son: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la matriz ampliada $A'$ es exactamente la matriz $A$ del apartado (a). Por tanto, ya sabemos que **$\text{rg}(A') = 2$**. 💡 **Tip:** En geometría, la posición relativa entre una recta (definida por dos planos) y un tercer plano se resuelve estudiando el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes $M$. Según las operaciones realizadas en el apartado (a), al realizar las mismas transformaciones sobre $M$ (que son las tres primeras columnas de $A'$), llegamos a: $$M \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Por tanto, **$\text{rg}(M) = 2$**. Comparando los rangos: - $\text{rg}(M) = 2$ - $\text{rg}(A') = 2$ - Número de incógnitas $n = 3$ Como $\text{rg}(M) = \text{rg}(A') \lt n$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Esto significa que existen infinitas soluciones que dependen de $n - \text{rg}(M) = 3 - 2 = 1$ parámetro. Estas soluciones forman una recta. 💡 **Tip:** Si el sistema de 3 planos es compatible indeterminado con rango 2, los tres planos se cortan en una recta común.

Dado que el sistema formado por la recta $r$ (intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$) y el plano $\pi_3$ es compatible indeterminado y su solución es una recta, esto implica que todos los puntos de la recta $r$ satisfacen la ecuación del plano $\pi_3$. Por lo tanto, la recta $r$ está contenida en el plano $\pi_3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi_3 \quad (r \subset \pi_3)}$$