Estudio de extremos relativos y probabilidad discreta

**a) Obtén los máximos y mínimos relativos de la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$** Para encontrar los extremos relativos, primero calculamos la primera derivada $f'(x)$ e igualamos a cero para hallar los puntos críticos. $$f'(x) = 3x^2 + 6x + 1$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $3x^2 + 6x + 1 = 0$ utilizando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{6}$$ Simplificamos el radical $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$: $$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$ Los puntos críticos son: $$x_1 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \approx -1,816, \quad x_2 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx -0,184$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos.

Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ y evaluamos en los puntos hallados. $$f''(x) = 6x + 6$$ Evaluamos $x_1 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$: $$f''\left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 6\left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 6 = -6 - 2\sqrt{6} + 6 = -2\sqrt{6} \lt 0$$ Al ser negativa, existe un **máximo relativo** en $x_1$. Evaluamos $x_2 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$: $$f''\left(-1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 6\left(-1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 6 = -6 + 2\sqrt{6} + 6 = 2\sqrt{6} \gt 0$$ Al ser positiva, existe un **mínimo relativo** en $x_2$. **Estudio del signo de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 & (x_2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \text{Comportamiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f''(a) \lt 0$ es un máximo y si $f''(a) \gt 0$ es un mínimo.

Sustituimos los valores de $x$ en la función original $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$ para hallar las coordenadas completas: - Para $x_1 \approx -1,816$: $f(-1,816) \approx 5,089$. - Para $x_2 \approx -0,184$: $f(-0,184) \approx 2,911$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1,816, \, 5,089) \quad \text{Mínimo relativo en } (-0,184, \, 2,911)}$$

**b.1) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea de 3?** Al extraer 2 bolas sin reemplazamiento de la urna $\{1, 2, 3, 4\}$, el espacio muestral de las posibles parejas (sin importar el orden de la suma) es: $S = \{ \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\} \}$ El número total de casos posibles es **6**. Analizamos las sumas: - $\{1,2\} \to 3$ - $\{1,3\} \to 4$ - $\{1,4\} \to 5$ - $\{2,3\} \to 5$ - $\{2,4\} \to 6$ - $\{3,4\} \to 7$ Solo hay 1 caso favorable donde la suma es 3: el par $\{1,2\}$. Aplicando la regla de Laplace: $$P(\text{suma} = 3) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{1}{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{suma} = 3) \approx 0,1667}$$

**b.2) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea mayor de 3?** Los casos favorables son aquellos donde la suma es 4, 5, 6 o 7. Según nuestro recuento anterior, estos son 5 casos: $\{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}$. También podemos utilizar el suceso contrario (que la suma sea 3): $$P(\text{suma} \gt 3) = 1 - P(\text{suma} = 3) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$ 💡 **Tip:** El uso del complementario es muy útil cuando el número de casos favorables es elevado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{suma} \gt 3) \approx 0,8333}$$