Cálculo de límites e indeterminación 1 al infinito. Recta perpendicular a dos vectores

**a) [1 punto] Calcula el siguiente límite:** $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5x + 1}{5x} \right)^{x^2}$$ Primero, analizamos el comportamiento de la base y del exponente por separado cuando $x \to +\infty$: - **Base:** $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x+1}{5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{5x} = 1$. - **Exponente:** $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites de la forma $1^\infty$, utilizamos la fórmula basada en el número $e$: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot [f(x) - 1]}$.

Aplicamos la fórmula para resolver la indeterminación: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5x + 1}{5x} \right)^{x^2} = e^{\lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot \left( \frac{5x + 1}{5x} - 1 \right)}$$ Operamos dentro del paréntesis para simplificar la expresión: $$\frac{5x + 1}{5x} - 1 = \frac{5x + 1 - 5x}{5x} = \frac{1}{5x}$$ Ahora sustituimos esta simplificación en el límite del exponente: $$\lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot \left( \frac{1}{5x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{5}$$ Como el límite del exponente es: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{5} = +\infty$$ El resultado final del límite es: $$e^{+\infty} = +\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{5x + 1}{5x} \right)^{x^2} = +\infty}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2, 1, 3)$ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (2, 2, 0)$ y $\vec{v} = (0, 0, -1)$.** Si el vector director de la recta, llamémoslo $\vec{d_r}$, es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ simultáneamente, podemos obtenerlo calculando el **producto vectorial** de ambos: $$\vec{d_r} = \vec{u} \times \vec{v}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{d_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \vec{i} \cdot (2 \cdot (-1)) - \vec{j} \cdot (2 \cdot (-1)) + \vec{k} \cdot (2 \cdot 0 - 0 \cdot 2)$$ $$\vec{d_r} = -2\vec{i} - (-2)\vec{j} + 0\vec{k} = (-2, 2, 0)$$ Para simplificar la ecuación de la recta, podemos usar un vector proporcional, por ejemplo, dividiendo por 2: $$\vec{d_r} = (-1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos. Si necesitas un vector director, cualquier vector proporcional te servirá.

Con el punto $A(2, 1, 3)$ y el vector director $\vec{d_r} = (-1, 1, 0)$, escribimos la ecuación de la recta. Podemos expresarla en su **forma paramétrica**: $$\begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 3 \end{cases}$$ O también en su **forma continua** (teniendo en cuenta que la componente $z$ es constante porque su dirección en ese eje es $0$): $$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{1}, \quad z = 3$$ Simplificando la forma continua: $$-(x - 2) = y - 1 \implies -x + 2 = y - 1 \implies x + y - 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 3 \end{cases}}$$