Cálculo de integral por cambio de variable e invertibilidad de matrices

**a) [1 punto] Calcula la siguiente integral: $$\int \frac{dx}{(1-3x)^{1/2} - (1-3x)^{2/3}}$$ Puedes utilizar el cambio de variable $1 - 3x = t^6$.** Primero, preparamos el cambio de variable para transformar la integral en una función racional. Sea $1 - 3x = t^6$. Derivamos ambos lados respecto a sus variables: $$-3 \, dx = 6t^5 \, dt \implies dx = -2t^5 \, dt$$ Ahora, calculamos las potencias de la expresión original en función de $t$: - $(1-3x)^{1/2} = (t^6)^{1/2} = t^3$ - $(1-3x)^{2/3} = (t^6)^{2/3} = t^4$ Sustituimos todo en la integral: $$I = \int \frac{-2t^5 \, dt}{t^3 - t^4}$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable $t^6$ se elige porque $6$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes ($2$ y $3$), lo que permite eliminar las raíces.

Simplificamos la expresión algebraica antes de integrar, extrayendo factor común en el denominador: $$I = \int \frac{-2t^5}{t^3(1 - t)} \, dt = \int \frac{-2t^2}{1 - t} \, dt$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos por $-1$ arriba y abajo: $$I = \int \frac{2t^2}{t - 1} \, dt$$ Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, realizamos la división de polinomios: $$2t^2 \div (t - 1)$$ - $2t^2 = 2t(t - 1) + 2t$ - $2t = 2(t - 1) + 2$ Por tanto: $$\frac{2t^2}{t - 1} = 2t + 2 + \frac{2}{t - 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, siempre debemos dividir: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Integramos término a término: $$I = \int (2t + 2 + \frac{2}{t - 1}) \, dt = t^2 + 2t + 2 \ln|t - 1| + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable. Si $1 - 3x = t^6$, entonces $t = (1 - 3x)^{1/6}$. Sustituyendo $t$: $$I = (1 - 3x)^{2/6} + 2(1 - 3x)^{1/6} + 2 \ln |(1 - 3x)^{1/6} - 1| + C$$ $$I = (1 - 3x)^{1/3} + 2(1 - 3x)^{1/6} + 2 \ln |(1 - 3x)^{1/6} - 1| + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{dx}{(1-3x)^{1/2} - (1-3x)^{2/3}} = \sqrt[3]{1-3x} + 2\sqrt[6]{1-3x} + 2\ln|\sqrt[6]{1-3x} - 1| + C}$$

**b) [1,5 puntos] Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Sin calcular $A^{-1}$, razona por qué $A^{-1}$ existe y discute si la matriz $A^{-1} \cdot B$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus o desarrollando por la tercera fila (que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera fila: $$|A| = 2 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 + 0 = 2 \cdot (1) \cdot (0 - 1) = -2$$ Como $|A| = -2 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular y, por lo tanto, existe $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** No es necesario calcular la matriz inversa completa para saber si existe; el determinante es la herramienta clave.

Para que la matriz producto $A^{-1} \cdot B$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Aplicamos las propiedades de los determinantes: $$|A^{-1} \cdot B| = |A^{-1}| \cdot |B| = \frac{1}{|A|} \cdot |B|$$ Calculamos ahora el determinante de la matriz $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos que la segunda fila de la matriz $B$ está compuesta íntegramente por ceros. Por las propiedades de los determinantes, si una fila o columna es nula, el determinante es cero: $$|B| = 0$$ Por lo tanto: $$|A^{-1} \cdot B| = \frac{1}{-2} \cdot 0 = 0$$ Como el determinante del producto es igual a cero, concluimos que la matriz **$A^{-1} \cdot B$ no tiene inversa** (es una matriz singular). ✅ **Conclusión:** $$\boxed{A^{-1} \text{ existe porque } |A| = -2 \neq 0. \text{ La matriz } A^{-1}B \text{ NO tiene inversa porque } |A^{-1}B| = 0.}$$