Probabilidad y Estadística 2023 Castilla la Mancha
Probabilidad total, Teorema de Bayes y Distribución Normal
4. **a)** Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El $30\ \%$ de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el $70\ \%$ se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el $10\ \%$ de las reparaciones son de tipo mecánico y el $90\ \%$ de tipo eléctrico. En el polígono Llano el $30\ \%$ de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.
**a.1) [0,5 puntos]** ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?
**a.2) [0,75 puntos]** Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?
**b)** El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media $1.5$ minutos y desviación típica $0.15$ minutos.
**b.1) [0,5 puntos]** ¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de $1.35$ minutos?
**b.2) [0,75 puntos]** ¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el $85.08\ \%$ de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?**
Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $C$: La reparación se realiza en el polígono Campo.
- $L$: La reparación se realiza en el polígono Llano.
- $M$: La reparación es de tipo mecánico.
- $E$: La reparación es de tipo eléctrico.
Organizamos los datos proporcionados en un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades:
💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$ (por ejemplo, $0.1 + 0.9 = 1$).
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de que una reparación sea de tipo mecánico, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(M) = P(C) \cdot P(M|C) + P(L) \cdot P(M|L)$$
Sustituimos los valores del diagrama:
$$P(M) = (0.3 \cdot 0.1) + (0.7 \cdot 0.3)$$
$$P(M) = 0.03 + 0.21 = 0.24$$
La probabilidad de que se realice una reparación mecánica es de $0.24$ (o un $24\ %$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0.24}$$
Paso 3
Aplicación del Teorema de Bayes
**a.2) [0,75 puntos] Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?**
Nos piden una probabilidad condicionada inversa: $P(L|E)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(L|E) = \frac{P(L \cap E)}{P(E)} = \frac{P(L) \cdot P(E|L)}{P(E)}$$
Primero, calculamos $P(E)$. Como una reparación solo puede ser mecánica o eléctrica, son sucesos contrarios:
$$P(E) = 1 - P(M) = 1 - 0.24 = 0.76$$
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (que sea en el polígono Llano y eléctrica):
$$P(L \cap E) = 0.7 \cdot 0.7 = 0.49$$
Finalmente:
$$P(L|E) = \frac{0.49}{0.76} \approx 0.6447$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (polígono) dado un "efecto" observado (tipo de reparación).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(L|E) = \frac{49}{76} \approx 0.6447}$$
Paso 4
Probabilidad en la distribución Normal
**b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de $1.35$ minutos?**
Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de una vuelta. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu = 1.5, \sigma = 0.15)$.
Queremos calcular $P(X < 1.35)$. Para usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, debemos tipificar la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X < 1.35) = P\left(Z < \frac{1.35 - 1.5}{0.15}\right)$$
$$P(X < 1.35) = P\left(Z < \frac{-0.15}{0.15}\right) = P(Z < -1)$$
Por simetría de la campana de Gauss:
$$P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1)$$
Buscamos en la tabla de la $N(0,1)$ el valor para $Z = 1.00$:
$$P(Z \le 1) = 0.8413$$
Entonces:
$$P(X < 1.35) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X < 1.35) = 0.1587}$$
Paso 5
Cálculo del valor crítico (Normal inversa)
**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el $85.08\ \%$ de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?**
Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de que el tiempo sea menor que $k$ sea $0.8508$:
$$P(X < k) = 0.8508$$
Tipificamos la expresión:
$$P\left(Z < \frac{k - 1.5}{0.15}\right) = 0.8508$$
Llamamos $z_0 = \frac{k - 1.5}{0.15}$. Buscamos en el interior de la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ el valor de probabilidad más cercano a $0.8508$.
Encontramos que para una probabilidad de $0.8508$, el valor de $z$ es exactamente $1.04$:
$$z_0 = 1.04$$
Ahora, deshacemos el cambio para hallar $k$:
$$1.04 = \frac{k - 1.5}{0.15}$$
$$k - 1.5 = 1.04 \cdot 0.15$$
$$k - 1.5 = 0.156$$
$$k = 1.5 + 0.156 = 1.656$$
El tiempo exacto buscado es de $1.656$ minutos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{k = 1.656 \text{ minutos}}$$