Punto en plano y perpendicularidad vectorial

**a) [1,5 puntos] ¿Qué deben cumplir los valores $a, b$ para que el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$ y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector $\vec{u} = (1, 2, 0)$?** Para que el punto $A(1, 1, a)$ esté contenido en el plano $\pi \equiv b \cdot x + y + z = 1$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del mismo. Sustituimos $x = 1$, $y = 1$ y $z = a$: $$b \cdot (1) + 1 + a = 1$$ Simplificamos restando 1 en ambos miembros: $$b + a = 0 \implies a + b = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ pertenece a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ si y solo si $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$.

El vector normal al plano $\pi$, denotado como $\vec{n}$, se obtiene directamente de los coeficientes de las variables $x, y, z$ en su ecuación general: $$\vec{n} = (b, 1, 1)$$ Se nos exige que $\vec{n}$ sea perpendicular al vector $\vec{u} = (1, 2, 0)$. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo: $$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$$ $$(b, 1, 1) \cdot (1, 2, 0) = 0$$ Calculamos el producto escalar: $$b \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 0$$ $$b + 2 = 0 \implies \mathbf{b = -2}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ y $\vec{w}(w_1, w_2, w_3)$ es $v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3$.

Sustituimos el valor de $b = -2$ en la **Ecuación 1** hallada anteriormente: $$a + (-2) = 0 \implies \mathbf{a = 2}$$ Por tanto, los valores buscados para cumplir ambas condiciones simultáneamente son $a=2$ y $b=-2$. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = -2}$$

**b) [1 punto] Con los valores de $a, b$ del apartado anterior, obtén la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $A$.** Primero definimos los elementos conocidos con los parámetros ya calculados: - Punto de paso: $A(1, 1, 2)$. - Plano: $\pi \equiv -2x + y + z = 1$. - Vector normal al plano: $\vec{n} = (-2, 1, 1)$. Buscamos una recta $r$ perpendicular al plano $\pi$. La condición de perpendicularidad entre una recta y un plano implica que el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n}$. Por simplicidad, tomamos: $$\vec{v}_r = \vec{n} = (-2, 1, 1)$$

Con el punto $A(1, 1, 2)$ y el vector director $\vec{v}_r = (-2, 1, 1)$, podemos expresar la recta $r$ de varias formas: **Ecuación paramétrica:** $$r \equiv \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ **Ecuación continua:** $$r \equiv \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$$ 💡 **Tip:** Para construir la recta solo necesitas un punto $(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $(u_x, u_y, u_z)$. La forma continua es $\frac{x-x_0}{u_x} = \frac{y-y_0}{u_y} = \frac{z-z_0}{u_z}$. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{r \equiv \frac{x - 1}{-2} = y - 1 = z - 2}$$