Teorema de Bolzano y raíces de un polinomio

**a) [0,5 puntos] Enuncia el teorema de Bolzano.** Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si se cumplen las siguientes hipótesis: 1. $f(x)$ es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Los valores de la función en los extremos del intervalo tienen **signos opuestos**, es decir, $f(a) \cdot f(b) \lt 0$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** Geométricamente, el teorema indica que si una función continua pasa de un valor negativo a uno positivo (o viceversa), obligatoriamente debe cortar al eje $X$ en algún punto intermedio.

**b) [1 punto] Sea la función $f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10$. Utiliza el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo $[0, 2]$.** Primero, comprobamos si la función cumple las condiciones del teorema en el intervalo $[0, 2]$: 1. **Continuidad:** $f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10$ es una función polinómica. Todas las funciones polinómicas son continuas en todo $\mathbb{R}$, por lo tanto, $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$. 2. **Signo en los extremos:** Calculamos el valor de la función en $x=0$ y $x=2$: - $f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 3(0) - 10 = -10$ - $f(2) = 2^3 + 6(2)^2 + 3(2) - 10 = 8 + 6(4) + 6 - 10 = 8 + 24 + 6 - 10 = 28$ Como $f(0) = -10 \lt 0$ y $f(2) = 28 \gt 0$, los signos son opuestos ($f(0) \cdot f(2) \lt 0$). 💡 **Tip:** Siempre debes mencionar que la función es polinómica para justificar su continuidad de forma rápida y correcta.

Al cumplirse ambas hipótesis, podemos aplicar el Teorema de Bolzano. Concluimos que existe al menos un valor $c$ perteneciente al intervalo abierto $(0, 2)$ tal que: $$f(c) = 0$$ Esto justifica que la función tiene, como mínimo, una raíz (punto de corte con el eje $X$) en dicho intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se cumplen las hipótesis de Bolzano, luego existe } c \in (0, 2) / f(c)=0}$$

**c) [1 punto] ¿Podría $f(x)$ tener más de una raíz en el intervalo $[0, 2]$? Justifica tu respuesta.** Para determinar si la raíz es única, estudiaremos la monotonía de la función mediante su primera derivada. Si la función es estrictamente creciente o decreciente en el intervalo, no podrá cruzar el eje $X$ más de una vez. Calculamos $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 12x + 3$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 + 12x + 3 = 0 \implies x^2 + 4x + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$$ Los puntos críticos son: - $x_1 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.268$ - $x_2 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732$ 💡 **Tip:** Si una función es estrictamente monótona en un intervalo y tiene una raíz por Bolzano, esa raíz es única.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo dado $[0, 2]$: Como ambos puntos críticos ($x \approx -0.268$ y $x \approx -3.732$) son menores que $0$, no hay ningún cambio de monotonía dentro del intervalo $(0, 2)$. Podemos comprobar el signo de la derivada tomando un punto cualquiera del intervalo, por ejemplo $x=1$: $$f'(1) = 3(1)^2 + 12(1) + 3 = 18 \gt 0$$ Esto significa que $f'(x) \gt 0$ para todo $x \in [0, 2]$, por lo que la función es **estrictamente creciente** en este intervalo. $$ \begin{array}{c|c} x & [0, 2] \\ \hline f'(x) & + \\ \hline f(x) & \nearrow \end{array} $$ Al ser estrictamente creciente, la función solo puede cortar el eje $X$ una sola vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la raíz es única porque } f(x) \text{ es estrictamente creciente en } [0, 2]}$$