Ecuación matricial con parámetros y simetría

**a) [1,5 puntos] Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores $a, b, c$ para que $A \cdot X = B$.** Para encontrar las condiciones de los parámetros, planteamos la igualdad matricial sustituyendo cada matriz por sus elementos: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación de las matrices $A$ y $X$ siguiendo la regla de fila por columna: - Elemento (1,1): $2 \cdot a + 1 \cdot c = 2a + c$ - Elemento (1,2): $2 \cdot b + 1 \cdot 0 = 2b$ - Elemento (2,1): $4 \cdot a + 2 \cdot c = 4a + 2c$ - Elemento (2,2): $4 \cdot b + 2 \cdot 0 = 4b$ La matriz resultante del producto es: $$\begin{pmatrix} 2a + c & 2b \\ 4a + 2c & 4b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Igualamos los elementos correspondientes de ambas matrices para obtener un sistema de ecuaciones lineales: 1) $2a + c = 1$ 2) $2b = 0$ 3) $4a + 2c = 2$ 4) $4b = 0$ Analizamos las ecuaciones para simplificar el sistema: - De las ecuaciones (2) y (4) se deduce inmediatamente que **$b = 0$**. - Si observamos la ecuación (3), vemos que es proporcional a la (1), ya que $2(2a + c) = 2(1) \Rightarrow 4a + 2c = 2$. Por lo tanto, es una ecuación dependiente y podemos prescindir de ella. El sistema se reduce a: $$\begin{cases} 2a + c = 1 \\ b = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cuando una ecuación es múltiplo de otra en un sistema, decimos que son linealmente dependientes y el sistema tiene infinitas soluciones si es compatible.

Para expresar las condiciones, despejamos una de las variables en función de la otra en la ecuación $2a + c = 1$. Es habitual dejar $c$ en función de $a$: $$c = 1 - 2a$$ Donde $a$ puede ser cualquier número real ($a \in \mathbb{R}$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = 0, \quad c = 1 - 2a, \quad a \in \mathbb{R}}$$

**b) [1 punto] Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?** Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta ($X = X^T$), lo que implica que los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales ($x_{ij} = x_{ji}$). Para la matriz $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix}$, la condición de simetría exige que: $$b = c$$ 💡 **Tip:** En matrices de orden 2, la simetría simplemente requiere que los elementos de la diagonal secundaria sean idénticos.

Combinamos la condición de simetría ($b = c$) con las condiciones obtenidas en el apartado anterior: 1) $b = 0$ 2) $c = 1 - 2a$ 3) $b = c$ Sustituimos $b$ y $c$ en la igualdad de simetría: $$0 = 1 - 2a$$ $$2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$ Por tanto, para que se cumplan todas las condiciones, los valores deben ser **$a = 1/2$**, **$b = 0$** y **$c = 0$**. Sustituimos estos valores en la forma general de $X$: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$$