Probabilidad y Estadística 2023 Castilla y Leon
Probabilidad de la suma más frecuente al lanzar dos dados
E10.- (Probabilidad y Estadística)
Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente?
**(2 puntos)**
Paso 1
Definir el espacio muestral
Para resolver este problema, primero debemos determinar el número total de resultados posibles al lanzar dos dados de seis caras. Aunque los dados sean idénticos, para el cálculo de probabilidades los tratamos como si fueran distinguibles para asegurar que todos los sucesos elementales sean equiprobables.
Cada dado tiene 6 caras, por lo que el número total de resultados posibles (casos totales) es:
$$n = 6 \times 6 = 36$$
💡 **Tip:** Recuerda que en experimentos de lanzamiento de varios dados, el número de casos totales viene dado por $6^n$, donde $n$ es el número de dados.
Paso 2
Construir la tabla de sumas posibles
Vamos a representar todas las sumas posibles en una tabla de doble entrada para identificar cuáles son los resultados de sumar las puntuaciones de ambos dados:
$$
\begin{array}{c|cccccc}
+ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12
\end{array}
$$
En esta tabla, las filas representan el resultado del primer dado y las columnas el del segundo.
Paso 3
Identificar la suma más frecuente
Observando la tabla anterior, podemos contar cuántas veces aparece cada suma posible (desde 2 hasta 12):
- Suma 2: 1 vez $\{(1,1)\}$
- Suma 3: 2 veces $\{(1,2), (2,1)\}$
- Suma 4: 3 veces $\{(1,3), (2,2), (3,1)\}$
- Suma 5: 4 veces $\{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\}$
- Suma 6: 5 veces $\{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}$
- **Suma 7: 6 veces** $\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$
- Suma 8: 5 veces
- Suma 9: 4 veces
- Suma 10: 3 veces
- Suma 11: 2 veces
- Suma 12: 1 vez
La suma más frecuente es **7**, ya que aparece en **6 ocasiones** de las 36 posibles.
💡 **Tip:** En el lanzamiento de dos dados, la suma más probable siempre es 7 porque es la que tiene más combinaciones posibles (las diagonales de la tabla de sumas).
Paso 4
Calcular la probabilidad final
Utilizamos la Regla de Laplace para calcular la probabilidad de que la suma sea la más frecuente (es decir, que la suma sea 7):
$$P(\text{suma más frecuente}) = P(S=7) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(S=7) = \frac{6}{36}$$
Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador entre 6:
$$P(S=7) = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{P = \frac{1}{6}}$$