Probabilidad en torneo de ajedrez

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos básicos según la procedencia de los participantes y su edad: - $E$: El participante es español. - $U$: El participante es europeo no español. - $R$: El participante procede del resto del mundo. - $J$: El participante no pasa de los $40$ años (es joven). - $\bar{J}$: El participante tiene más de $40$ años. A partir de los porcentajes, calculamos las probabilidades de procedencia: - $P(E) = 0,50$ - $P(U) = 0,30$ - $P(R) = 1 - (0,50 + 0,30) = 0,20$ Representamos la información en un árbol de probabilidad:

**a) Indicar las $6$ probabilidades que aparecen en el enunciado ($0,6$ puntos)** Extraemos directamente los datos numéricos transformándolos a notación de probabilidad: 1. Probabilidad de ser español: $P(E) = 0,50$ 2. Probabilidad de ser europeo no español: $P(U) = 0,30$ 3. Probabilidad de proceder del resto del mundo: $P(R) = 1 - 0,5 - 0,3 = 0,20$ 4. Probabilidad de no pasar de 40 años siendo español: $P(J|E) = \dfrac{2}{3}$ 5. Probabilidad de no pasar de 40 años siendo europeo no español: $P(J|U) = \dfrac{1}{2}$ 6. Probabilidad de no pasar de 40 años procediendo del resto del mundo: $P(J|R) = \dfrac{1}{3}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E)=0,5; \, P(U)=0,3; \, P(R)=0,2; \, P(J|E)=2/3; \, P(J|U)=1/2; \, P(J|R)=1/3}$$

**b) Si se selecciona un participante al azar ¿Calcular la probabilidad de que no tenga más de $40$ años? ($0,7$ puntos)** Para calcular $P(J)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser joven en cada uno de los tres grupos de procedencia: $$P(J) = P(E) \cdot P(J|E) + P(U) \cdot P(J|U) + P(R) \cdot P(J|R)$$ Sustituimos los valores: $$P(J) = 0,5 \cdot \frac{2}{3} + 0,3 \cdot \frac{1}{2} + 0,2 \cdot \frac{1}{3}$$ Realizamos las operaciones: $$P(J) = \frac{1}{3} + 0,15 + \frac{0,2}{3}$$ $$P(J) = \frac{1,2}{3} + 0,15 = 0,4 + 0,15 = 0,55$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite hallar la probabilidad de un suceso final sumando los productos de las ramas del árbol que conducen a él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(J) = 0,55}$$

**c) Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de $40$ años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? ($0,7$ puntos)** Nos piden la probabilidad de que sea español sabiendo que es joven, es decir, $P(E|J)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(E|J) = \frac{P(E) \cdot P(J|E)}{P(J)}$$ Utilizamos el valor de $P(J)$ calculado en el apartado anterior: $$P(E|J) = \frac{0,5 \cdot \frac{2}{3}}{0,55} = \frac{\frac{1}{3}}{0,55}$$ Operamos para simplificar la fracción: $$P(E|J) = \frac{1}{3 \cdot 0,55} = \frac{1}{1,65} = \frac{100}{165}$$ Simplificando entre 5: $$P(E|J) = \frac{20}{33} \approx 0,6061$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "volver atrás" en el árbol: hallar la probabilidad de una causa dado un efecto observado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|J) = \frac{20}{33} \approx 0,606}$$