Área de un recinto limitado por una función y el eje X

Para calcular el área del recinto limitado por la función $f(x) = xe^{-x}$ y el eje de abscisas (eje $X$, donde $y=0$) en el intervalo $[-1, 0]$, primero debemos determinar si la función cambia de signo en dicho intervalo. Buscamos los puntos de corte con el eje $X$ resolviendo $f(x) = 0$: $$xe^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ es siempre positiva para cualquier valor de $x$ ($e^{-x} \gt 0$), la única solución es: $$x = 0$$ Ahora estudiamos el signo de la función en el interior del intervalo, es decir, en $(-1, 0)$: - Si $x \in (-1, 0)$, entonces $x$ es negativo. - Como $e^{-x}$ siempre es positivo, el producto $f(x) = x \cdot e^{-x}$ será negativo en todo el intervalo. Esto implica que la gráfica de la función queda por debajo del eje de abscisas, por lo que el área se calculará como el valor absoluto de la integral o bien integrando la función opuesta: $$\text{Área} = \int_{-1}^{0} |f(x)| \, dx = \int_{-1}^{0} -xe^{-x} \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva. Si la función es negativa en un intervalo $[a, b]$, el área es $-\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Calculamos primero la integral indefinida $\int x e^{-x} \, dx$ utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x e^{-x} \, dx = x(-e^{-x}) - \int -e^{-x} \, dx$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}$$ Por lo tanto, la integral que necesitamos (con el signo cambiado para el área) es: $$\int -xe^{-x} \, dx = (x+1)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: «Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme» ($u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$).

Una vez hallada la primitiva, aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[-1, 0]$ para obtener el área: $$\text{Área} = \int_{-1}^{0} -xe^{-x} \, dx = \left[ (x+1)e^{-x} \right]_{-1}^{0}$$ Evaluamos en los límites de integración: - Para $x = 0$: $F(0) = (0+1)e^{0} = 1 \cdot 1 = 1$ - Para $x = -1$: $F(-1) = (-1+1)e^{-(-1)} = 0 \cdot e^{1} = 0$ Restamos los valores obtenidos: $$\text{Área} = F(0) - F(-1) = 1 - 0 = 1$$ El área del recinto es **$1$ unidad cuadrada**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.