Cálculo de un límite con raíces cuadradas

Para calcular el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = 2$ para ver si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2^3 + 2 - 1} - \sqrt{2^3 + 1}}{2 - 2} = \frac{\sqrt{8 + 2 - 1} - \sqrt{8 + 1}}{0} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{9}}{0} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$**. 💡 **Tip:** Cuando obtenemos $\frac{0}{0}$ en un límite de funciones derivables en un entorno del punto, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital o multiplicar por el conjugado. En este caso, utilizaremos la Regla de L'Hôpital.

La Regla de L'Hôpital establece que, bajo ciertas condiciones de derivabilidad: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ Definimos: - Numerador: $f(x) = \sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}$ - Denominador: $g(x) = x - 2$ Calculamos las derivadas: 1. Para $f(x)$, usamos la regla de la cadena para la raíz $\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$: $$f'(x) = \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + x - 1}} - \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$$ 2. Para $g(x)$: $$g'(x) = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una resta es la resta de las derivadas.

Ahora aplicamos el límite a la expresión resultante de las derivadas: $$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + x - 1}} - \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}}{1} = \lim_{x \to 2} \left( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + x - 1}} - \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \right)$$ Sustituimos $x = 2$: $$= \frac{3(2)^2 + 1}{2\sqrt{2^3 + 2 - 1}} - \frac{3(2)^2}{2\sqrt{2^3 + 1}} = \frac{12 + 1}{2\sqrt{9}} - \frac{12}{2\sqrt{9}}$$ $$= \frac{13}{2 \cdot 3} - \frac{12}{2 \cdot 3} = \frac{13}{6} - \frac{12}{6} = \frac{1}{6}$$ Por tanto, el valor del límite es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}}{x - 2} = \frac{1}{6}}$$