Estudio de una función logarítmica e integración por partes

**a) Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función $f(x) = x (\ln x - 1)$. (1 punto)** La función $f(x) = x (\ln x - 1)$ contiene un término con logaritmo natural, $\ln x$. Por definición, el argumento de un logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero ($x \gt 0$). Como el resto de la función es un producto por la variable $x$ (definida en todo $\mathbb{R}$), la única restricción es la del logaritmo. ✅ **Dominio:** $$\boxed{D = (0, +\infty)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones logarítmicas $\ln(g(x))$ solo existen cuando $g(x) \gt 0$.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot (\ln x - 1) + x \cdot (\ln x - 1)'$$ $$f'(x) = 1 \cdot (\ln x - 1) + x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$$ $$f'(x) = \ln x - 1 + 1 = \ln x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = e^0 = 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) = \ln x & - & 0 & +\\\hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Intervalos de monotonía:** - La función es **decreciente** en $\boxed{(0, 1)}$. - La función es **creciente** en $\boxed{(1, +\infty)}$.

A partir de la tabla anterior, observamos que en $x = 1$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que existe un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en la función original $f(x)$: $$f(1) = 1 \cdot (\ln 1 - 1) = 1 \cdot (0 - 1) = -1$$ No existen más puntos críticos, por lo que no hay máximos relativos. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, -1)}$$

**b) Calcúlese $\int x (\ln x - 1) \, dx$. (1 punto)** Resolvemos la integral mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla ALPES (A: Arcos, L: Logaritmos, P: Polinomios, E: Exponenciales, S: Seno/Coseno). Elegimos: - $u = \ln x - 1 \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x (\ln x - 1) \, dx = (\ln x - 1) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ $$\int x (\ln x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2}(\ln x - 1) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x (\ln x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C$$ $$\int x (\ln x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C$$ Agrupando términos similares ($-1/2 - 1/4 = -3/4$): $$\int x (\ln x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{3x^2}{4} + C$$ También podemos expresar el resultado factorizado: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x (\ln x - 1) \, dx = \frac{x^2}{4} (2 \ln x - 3) + C}$$