Extremos relativos compartidos y unicidad de raíces

**a) Determinar $a$ y $b$ de modo que las funciones $f(x) = x^2 - a$ y $g(x) = (x - b)e^x$ tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. (1 punto)** Para que una función tenga un extremo relativo en un punto $x_0$, su derivada debe ser nula en dicho punto ($f'(x_0) = 0$). Calculamos la derivada de $f(x)$: $$f(x) = x^2 - a \implies f'(x) = 2x$$ Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: $$2x = 0 \implies x = 0$$ Por tanto, el punto donde $f(x)$ tiene su extremo es **$x_0 = 0$**. Para que ambas funciones compartan el extremo en el mismo punto, $g(x)$ también debe tener su extremo en $x = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria para la existencia de un extremo relativo en funciones derivables es que la primera derivada se anule (Teorema de Fermat).

Calculamos la derivada de $g(x) = (x - b)e^x$ usando la regla del producto: $$g'(x) = (1) \cdot e^x + (x - b) \cdot e^x = (1 + x - b)e^x$$ Como sabemos que $g(x)$ debe tener un extremo en $x = 0$, imponemos la condición $g'(0) = 0$: $$g'(0) = (1 + 0 - b)e^0 = (1 - b) \cdot 1 = 1 - b$$ $$1 - b = 0 \implies \mathbf{b = 1}$$ 💡 **Tip:** La función exponencial $e^x$ nunca se anula ($e^x \gt 0$), por lo que el único modo de que la derivada sea cero es que el factor polinómico sea cero.

El enunciado indica que, además de tener un extremo en el mismo punto, deben tomar el mismo valor en él. Es decir, $f(0) = g(0)$. Calculamos los valores en $x = 0$: - $f(0) = 0^2 - a = -a$ - $g(0) = (0 - b)e^0 = -b$ Igualamos ambos resultados: $$-a = -b \implies a = b$$ Como ya habíamos obtenido que $b = 1$, entonces **$a = 1$**. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$

**b) Demostrar que la función $f(x) = 2x + \text{sen } x$ solo se anula en el punto $x = 0$. (1 punto)** En primer lugar, comprobamos si $x = 0$ es efectivamente una raíz evaluando la función: $$f(0) = 2(0) + \text{sen}(0) = 0 + 0 = 0$$ Esto confirma que $x = 0$ es una solución de la ecuación $f(x) = 0$. 💡 **Tip:** Para demostrar que una solución es única, un método estándar es comprobar si la función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece).

Para estudiar el crecimiento de $f(x) = 2x + \text{sen } x$, calculamos su derivada: $$f'(x) = 2 + \cos(x)$$ Analizamos el rango de valores de la derivada. Sabemos que la función coseno está acotada entre $-1$ y $1$: $$-1 \le \cos(x) \le 1$$ Sumamos 2 en todos los términos de la desigualdad: $$2 - 1 \le 2 + \cos(x) \le 2 + 1$$ $$1 \le f'(x) \le 3$$ Como $f'(x) \ge 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$, la derivada es estrictamente positiva ($f'(x) \gt 0$). Esto implica que $f(x)$ es una función **estrictamente creciente** en todo su dominio. Una función continua y estrictamente creciente puede cruzar el eje de abscisas ($y=0$) a lo sumo una vez. Como ya hemos encontrado que $f(0) = 0$, no puede haber ningún otro valor de $x$ tal que $f(x) = 0$. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{Queda demostrado que } x = 0 \text{ es la única raíz.}}$$