Paralelismo y distancia entre recta y plano

**a) Comprobar que $r$ es paralela a $\pi$. (1 punto)** Para comprobar si una recta es paralela a un plano, primero extraemos sus vectores directores y un punto de la recta: 1. **Plano $\pi$**: La ecuación es $x + 2y - 2z = 0$. Su vector normal es: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 2, -2)$$ 2. **Recta $r$**: De la ecuación continua $\frac{x}{-2} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 1}{1}$, obtenemos su vector director $\vec{d}_r$ y un punto $P_r$: $$\vec{d}_r = (-2, 2, 1)$$ $$P_r = (0, 4, 1)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, su vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Esto se comprueba si su producto escalar es cero: $$\vec{d}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)$$ $$\vec{d}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = -2 + 4 - 2 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, los vectores son perpendiculares, lo que significa que la recta es paralela al plano o está contenida en él. 💡 **Tip:** Si $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$, la recta no corta al plano (es paralela) o está totalmente dentro de él.

Para asegurar que son estrictamente paralelos, verificamos si el punto $P_r(0, 4, 1)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación $x + 2y - 2z = 0$: $$0 + 2(4) - 2(1) = 8 - 2 = 6 \neq 0$$ Como el punto de la recta **no cumple** la ecuación del plano, la recta no está contenida en él. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{r \parallel \pi}$$

**b) Hallar el plano $\sigma$, distinto de $\pi$ y paralelo a $\pi$, cuya distancia a $r$ coincide con la de $\pi$. (1 punto)** Dado que $r \parallel \pi$, la distancia de la recta al plano es la misma que la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usamos $P_r(0, 4, 1)$: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|1\cdot 0 + 2\cdot 4 - 2\cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|6|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

El plano $\sigma$ debe ser paralelo a $\pi$, por lo que su ecuación será de la forma: $$\sigma \equiv x + 2y - 2z + D = 0$$ Queremos que la distancia de $r$ a $\sigma$ sea igual a la distancia de $r$ a $\pi$ (que es 2). Por tanto: $$d(P_r, \sigma) = 2 \implies \frac{|0 + 2(4) - 2(1) + D|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 2$$ $$\frac{|6 + D|}{3} = 2 \implies |6 + D| = 6$$

La ecuación $|6 + D| = 6$ nos da dos posibles soluciones: 1. $6 + D = 6 \implies D = 0$. Este corresponde al plano original $\pi$. 2. $6 + D = -6 \implies D = -12$. Este corresponde al plano buscado $\sigma$. Por lo tanto, la ecuación del plano $\sigma$ es: $$x + 2y - 2z - 12 = 0$$ Para visualizar la situación, la recta $r$ se encuentra a una distancia de 2 unidades de $\pi$. El plano $\sigma$ se encuentra al "otro lado" de la recta a la misma distancia. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\sigma \equiv x + 2y - 2z - 12 = 0}$$