Plano perpendicular a otro plano por dos puntos

Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto perteneciente al plano y dos vectores directores que no sean paralelos entre sí (o bien un punto y un vector normal). Del enunciado extraemos la siguiente información: 1. El plano pasa por los puntos $P(0,0,0)$ y $Q(0,1,1)$. Esto nos permite obtener un vector director $\vec{u} = \vec{PQ}$. 2. El plano $\pi$ es perpendicular al plano $\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0$. Esto implica que el vector normal de $\sigma$, llamémosle $\vec{n_\sigma}$, será paralelo al plano $\pi$, funcionando como nuestro segundo vector director $\vec{v}$. 💡 **Tip:** Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno es paralelo al otro plano (y viceversa).

Calculamos el primer vector director a partir de los puntos $P$ y $Q$: $$\vec{u} = \vec{PQ} = Q - P = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1).$$ Obtenemos el segundo vector director a partir del vector normal del plano $\sigma$. Sabiendo que $\sigma \equiv 1x + 2y + 3z = 0$, sus coeficientes nos dan el vector normal: $$\vec{v} = \vec{n_\sigma} = (1, 2, 3).$$ Como $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales (sus componentes no mantienen la misma razón $\frac{0}{1} \neq \frac{1}{2}$), estos dos vectores definen correctamente el plano $\pi$ junto con el punto $P(0,0,0)$.

Para obtener la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, es muy útil hallar el vector normal $\vec{n_\pi}$, que se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n_\pi} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n_\pi} = [(\vec{i} \cdot 1 \cdot 3) + (\vec{j} \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 2 \cdot \vec{k})] - [(1 \cdot 1 \cdot \vec{k}) + (2 \cdot 1 \cdot \vec{i}) + (0 \cdot 3 \cdot \vec{j})]$$ $$\vec{n_\pi} = (3\vec{i} + \vec{j} + 0\vec{k}) - (\vec{k} + 2\vec{i} + 0\vec{j})$$ $$\vec{n_\pi} = (3 - 2)\vec{i} + (1 - 0)\vec{j} + (0 - 1)\vec{k} = (1, 1, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ produce un vector perpendicular a ambos, que es precisamente lo que define la orientación de un plano. $$\vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$$

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$1x + 1y - 1z + D = 0 \implies x + y - z + D = 0.$$ Como el plano pasa por el punto $P(0,0,0)$ (el origen), sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$0 + 0 - 0 + D = 0 \implies D = 0.$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$x + y - z = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi \equiv x + y - z = 0}$$