Ecuación matricial con parámetros e inversa

**Calcular los valores de $x, y, z \in \mathbb{R}$ para que $AB$ sea igual a la inversa $C^{-1}$ de la matriz $C$.** En primer lugar, realizamos el producto de las matrices $A$ y $B$. Observamos que $A$ es una matriz de dimensión $2 \times 3$ y $B$ es $3 \times 2$, por lo que el resultado $AB$ será una matriz $2 \times 2$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x + y \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - Elemento $(1,1)$: $1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z = x + z$ - Elemento $(1,2)$: $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (x + y) = x + y$ - Elemento $(2,1)$: $(-1) \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = -x + y$ - Elemento $(2,2)$: $(-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (x + y) = 1$ Por tanto: $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} x + z & x + y \\ -x + y & 1 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Para hallar $C^{-1}$, primero calculamos el determinante de $C$ para asegurar que la matriz es invertible: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1$$ Como $|C| = 1 \neq 0$, la matriz $C$ tiene inversa. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (o la traspuesta de la adjunta): 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz adjunta (en este caso es simétrica): $$(\text{Adj}(C))^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $C^{-1} = \frac{1}{|C|} (\text{Adj}(C))^t$: $$C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $$\boxed{C^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Igualamos $AB = C^{-1}$ elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} x + z & x + y \\ -x + y & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + z = 2 & (1) \\ x + y = 1 & (2) \\ -x + y = 1 & (3) \\ 1 = 1 & (4) \end{cases}$$ La cuarta ecuación es una identidad que confirma la coherencia del sistema. Resolvemos el sistema formado por (2) y (3) para hallar $x$ e $y$: Sumando (2) y (3): $$(x + y) + (-x + y) = 1 + 1 \implies 2y = 2 \implies \mathbf{y = 1}$$ Sustituimos $y = 1$ en la ecuación (2): $$x + 1 = 1 \implies \mathbf{x = 0}$$ Finalmente, usamos el valor de $x$ en la ecuación (1) para hallar $z$: $$0 + z = 2 \implies \mathbf{z = 2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, \quad y = 1, \quad z = 2}$$