Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

Para estudiar el sistema, primero lo expresamos en forma matricial $A \cdot X = B$. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu \\ \lambda & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \lambda & -1 \end{array}\right)$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que el sistema tenga **infinitas soluciones** (sea un Sistema Compatible Indeterminado), se debe cumplir que: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) < n$$ Donde $n$ es el número de incógnitas, en este caso $n=3$. 💡 **Tip:** Un sistema con $n$ incógnitas tiene infinitas soluciones si el rango de las matrices es menor que $n$. Esto implica necesariamente que el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero: $|A|=0$.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus y lo igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot \lambda) + (2 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot \lambda \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (\lambda \cdot \lambda \cdot 2)$$ $$|A| = \lambda + 0 + \lambda - 0 - 0 - 2\lambda^2 = 2\lambda - 2\lambda^2$$ Igualamos a cero: $$2\lambda - 2\lambda^2 = 0 \implies 2\lambda(1 - \lambda) = 0$$ Obtenemos dos valores posibles para $\lambda$: - **$\lambda = 0$** - **$\lambda = 1$** Analizaremos cada caso para determinar cuál permite que el rango de $A^*$ sea también menor que 3.

Sustituimos $\lambda = 0$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$$ En este caso, $|A| = 0$. Observamos que en la matriz $A$ hay un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \mu \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, el $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible** para cualquier valor de $\mu$. Por tanto, **$\lambda = 0$ no es una solución válida**.

Sustituimos $\lambda = 1$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Para $A$, sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Para que el sistema tenga infinitas soluciones, necesitamos que el **rango de $A^*$ sea también 2**. Para ello, todos los menores de orden 3 de $A^*$ deben ser nulos. Evaluamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \mu \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-1)] + [2 \cdot 1 \cdot 0] + [\mu \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot 1 \cdot \mu] - [1 \cdot 1 \cdot 1] - [(-1) \cdot 1 \cdot 2]$$ $$= -1 + 0 + \mu - 0 - 1 + 2 = \mu$$ Para que el $\text{rango}(A^*) = 2$, se debe cumplir que **$\mu = 0$**. 💡 **Tip:** Si $\lambda = 1$ y $\mu = 0$, las tres filas de la matriz ampliada son linealmente dependientes (concretamente, $F_1 = F_2 + F_3$), lo que confirma el rango 2.

Hemos determinado que para que el sistema tenga infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado), los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada deben coincidir y ser menores que 3. Esto ocurre únicamente cuando: - **$\lambda = 1$** (hace que $\text{rango}(A) = 2$) - **$\mu = 0$** (hace que $\text{rango}(A^*) = 2$) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lambda = 1, \quad \mu = 0}$$