Probabilidad de avería en camiones de reciclaje

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales basados en el enunciado: - $C_1$: La camioneta es de la marca C1. - $C_2$: La camioneta es de la marca C2. - $C_3$: La camioneta es de la marca C3. - $A$: La camioneta se avería. - $\bar{A}$: La camioneta no se avería. A continuación, representamos la situación mediante un **diagrama de árbol** para visualizar las probabilidades de cada rama: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre equal a 1.

**a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado (0,6 puntos)** Analizando el texto, extraemos las probabilidades directas y las condicionadas: 1. Probabilidad de que la camioneta sea de la marca C1: $P(C_1) = 45\% = 0,45$ 2. Probabilidad de que la camioneta sea de la marca C2: $P(C_2) = 30\% = 0,30$ 3. Probabilidad de que la camioneta sea de la marca C3: $P(C_3) = 25\% = 0,25$ 4. Probabilidad de avería dado que es de la marca C1: $P(A|C_1) = 0,02$ 5. Probabilidad de avería dado que es de la marca C2: $P(A|C_2) = 0,05$ 6. Probabilidad de avería dado que es de la marca C3: $P(A|C_3) = 0,04$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C_1)=0,45;\, P(C_2)=0,30;\, P(C_3)=0,25;\, P(A|C_1)=0,02;\, P(A|C_2)=0,05;\, P(A|C_3)=0,04}$$

**b) Si se selecciona una de esas camionetas al azar ¿qué probabilidad tiene de averiarse? (0,7 puntos)** Para calcular la probabilidad de que una camioneta se averíe, $P(A)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema suma las probabilidades de avería en cada una de las marcas posibles: $$P(A) = P(C_1) \cdot P(A|C_1) + P(C_2) \cdot P(A|C_2) + P(C_3) \cdot P(A|C_3)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el apartado anterior: $$P(A) = (0,45 \cdot 0,02) + (0,30 \cdot 0,05) + (0,25 \cdot 0,04)$$ $$P(A) = 0,009 + 0,015 + 0,010$$ $$P(A) = 0,034$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (avería) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (las distintas marcas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0,034}$$

**c) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3? (0,7 puntos)** En este caso, conocemos el efecto (la camioneta está averiada) y queremos hallar la probabilidad de una causa (que sea de la marca C3). Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C_3|A) = \frac{P(C_3 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(C_3) \cdot P(A|C_3)}{P(A)}$$ Utilizamos el valor de $P(A)$ calculado en el apartado (b): $$P(C_3|A) = \frac{0,25 \cdot 0,04}{0,034}$$ $$P(C_3|A) = \frac{0,010}{0,034}$$ Simplificamos la fracción: $$P(C_3|A) = \frac{10}{34} = \frac{5}{17} \approx 0,2941$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular probabilidades "a posteriori", es decir, una vez que ya sabemos que el suceso ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C_3|A) = \frac{5}{17} \approx 0,2941}$$