Cálculo de probabilidades con sucesos independientes e incompatibles

**E9.- (Probabilidad y Estadística) Sean $A, B$ y $C$ sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,4$ y $P(C) = 0,5$ tales que $A$ y $B$ son independientes y $A$ y $C$ son incompatibles. Calcular las probabilidades $P(A \cap B)$, $P(A \cap C)$, $P(A \cap ar{C})$, $P(A \cup B)$ y $P(ar{A} \cup ar{B})$ siendo $ar{A}, ar{B}$ y $ar{C}$ los sucesos complementarios de $A, B$ y $C$ respectivamente.** El enunciado nos indica que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**. Por definición, dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales. $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12$$ 💡 **Recuerda que:** La independencia estadística implica que el hecho de que ocurra un suceso no influye en la probabilidad de que ocurra el otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0,12}$$

Se nos indica que los sucesos $A$ y $C$ son **incompatibles** (o mutuamente excluyentes). Esto significa que no pueden ocurrir simultáneamente, por lo que su intersección es el conjunto vacío ($A \cap C = \emptyset$). Por tanto, la probabilidad de su intersección es cero: $$P(A \cap C) = 0$$ 💡 **Tip:** No confundas sucesos independientes con incompatibles. Si dos sucesos con probabilidad distinta de cero son independientes, no pueden ser incompatibles, y viceversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap C) = 0}$$

Para calcular $P(A \cap \bar{C})$, utilizamos la propiedad de la diferencia de sucesos. La intersección de un suceso $A$ con el complementario de $C$ es equivalente a los elementos que están en $A$ pero no en $C$ ($A \setminus C$). La fórmula general es: $$P(A \cap \bar{C}) = P(A) - P(A \cap C)$$ Como ya hemos determinado que $P(A \cap C) = 0$ por ser incompatibles: $$P(A \cap \bar{C}) = 0,3 - 0 = 0,3$$ Esto tiene sentido lógico: si $A$ y $C$ no tienen nada en común, todo lo que está en $A$ está necesariamente fuera de $C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \bar{C}) = 0,3}$$

Para hallar $P(A \cup B)$, utilizamos el axioma de la probabilidad para la unión de dos sucesos cualesquiera: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Utilizamos el valor de la intersección $P(A \cap B) = 0,12$ que calculamos en el primer paso: $$P(A \cup B) = 0,3 + 0,4 - 0,12$$ $$P(A \cup B) = 0,7 - 0,12 = 0,58$$ 💡 **Tip:** Siempre debemos restar la intersección en la unión para no contabilizar dos veces los elementos comunes, a menos que los sucesos sean incompatibles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0,58}$$

Para calcular $P(\bar{A} \cup \bar{B})$, recurrimos a las **Leyes de De Morgan**, que establecen que la unión de los complementarios es igual al complementario de la intersección: $$\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$$ Por la propiedad del suceso contrario, tenemos: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$$ Sustituimos el valor calculado anteriormente: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - 0,12 = 0,88$$ 💡 **Recuerda las Leyes de De Morgan:** 1) $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ 2) $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,88}$$