Área entre funciones y comparación de curvas

**a) Comprobar que las gráficas de dichas funciones en $[-1,0]$ sólo se cortan para $x = -1$ y $x = 0$. Demostrar que en $[-1,0] \quad g(x) \geq f(x)$ (1 punto)** Para hallar los puntos de corte de las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies -x^2 = x^3$$ Agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación: $$x^3 + x^2 = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x^2(x + 1) = 0$$ Las soluciones de esta ecuación son: 1. $x^2 = 0 \implies x = 0$ 2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ Como estas son las únicas soluciones reales de la ecuación, comprobamos que en el intervalo $[-1, 0]$ las funciones **solo se cortan en los extremos $x = -1$ y $x = 0$**. 💡 **Tip:** Para encontrar los puntos de corte de dos funciones $y=f(x)$ e $y=g(x)$, siempre debemos resolver la ecuación $f(x)=g(x)$.

Para demostrar que $g(x) \geq f(x)$ en el intervalo $[-1, 0]$, definimos la función diferencia $h(x) = g(x) - f(x)$ y estudiamos su signo: $$h(x) = x^3 - (-x^2) = x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$$ Analizamos el signo de cada factor en el intervalo $[-1, 0]$: - El término $x^2$ es siempre mayor o igual a cero para cualquier $x \in \mathbb{R}$, es decir, $x^2 \geq 0$. - Si $x \in [-1, 0]$, entonces $-1 \leq x \leq 0$. Sumando 1 en todos los miembros, obtenemos $0 \leq x + 1 \leq 1$, por lo que $(x + 1) \geq 0$. Al ser ambos factores no negativos en dicho intervalo, su producto también lo será: $$h(x) = x^2(x + 1) \geq 0 \implies g(x) - f(x) \geq 0 \implies g(x) \geq f(x)$$ Podemos mostrarlo gráficamente con una tabla de signos: $$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & (-1, 0) & 0 \\\hline x^2 & 1 & + & 0 \\ x+1 & 0 & + & 1 \\\hline h(x) & 0 & + & 0 \end{array}$$ Por tanto, queda demostrado que **$g(x) \geq f(x)$ para todo $x \in [-1, 0]$**.

**b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones. (1 punto)** El área del recinto limitado por dos funciones entre sus puntos de corte $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida del valor absoluto de su diferencia. Como ya sabemos que en $[-1, 0]$ se cumple $g(x) \geq f(x)$, el área $A$ es: $$A = \int_{-1}^{0} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva. Si no supiéramos qué función está por encima, usaríamos el valor absoluto: $\int |g(x)-f(x)| dx$.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $0$ y $-1$: $$A = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$$ Sustituimos los valores: $$A = \left( \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} \right)$$ $$A = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right)$$ Realizamos la operación de las fracciones buscando denominador común: $$A = - \left( \frac{3}{12} - \frac{4}{12} \right) = - \left( -\frac{1}{12} \right) = \frac{1}{12}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{12} \text{ unidades}^2}$$