Cálculo de límites e integrales definidas

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2}$ (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2} = \frac{\text{sen}(0^2)}{0^3 + 4(0)^2} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**. 💡 **Tip:** Cuando nos encontramos con una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ en funciones derivables, la herramienta más directa en Bachillerato es aplicar la **Regla de L'Hôpital**.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital, que consiste en derivar de forma independiente el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $[\text{sen}(x^2)]' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x\cos(x^2)$ - Derivada del denominador: $[x^3 + 4x^2]' = 3x^2 + 8x$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{3x^2 + 8x}$$ Para evitar volver a obtener $0/0$ al evaluar, simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador por $x$ (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot [2\cos(x^2)]}{x \cdot (3x + 8)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x^2)}{3x + 8}$$ 💡 **Tip:** Antes de aplicar L'Hôpital por segunda vez, siempre es recomendable simplificar algebraicamente si es posible.

Ahora evaluamos el límite simplificado sustituyendo de nuevo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x^2)}{3x + 8} = \frac{2\cos(0)}{3(0) + 8} = \frac{2 \cdot 1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\frac{1}{4}}$$

**b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen}(x)\cos^3(x) \, dx$ (1 punto)** Observamos que la función a integrar es de la forma $f'(x) \cdot [f(x)]^n$. En este caso: - Si $f(x) = \cos(x)$ - Entonces $f'(x) = -\text{sen}(x)$ Nuestra integral tiene el término $\text{sen}(x)$, por lo que solo necesitamos ajustar un signo negativo para tener la derivada exacta de la base de la potencia. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de la integral inmediata tipo potencia: $\int f'(x) \cdot [f(x)]^n \, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$.

Ajustamos el signo negativo dentro y fuera de la integral para aplicar la fórmula inmediata: $$\int \text{sen}(x)\cos^3(x) \, dx = - \int (-\text{sen}(x)) \cdot \cos^3(x) \, dx$$ Ahora aplicamos la regla de la cadena inversa: $$F(x) = - \frac{\cos^4(x)}{4}$$ Esta es la primitiva de nuestra función.

Para calcular la integral definida entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$, aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen}(x)\cos^3(x) \, dx = \left[ -\frac{\cos^4(x)}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ Evaluamos en los límites de integración: $$I = \left( -\frac{\cos^4(\frac{\pi}{2})}{4} \right) - \left( -\frac{\cos^4(0)}{4} \right)$$ Sabemos que: - $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ - $\cos(0) = 1$ Sustituimos los valores: $$I = \left( -\frac{0^4}{4} \right) - \left( -\frac{1^4}{4} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\frac{1}{4}}$$