Estudio de una función polinómica: dominio, cortes, monotonía y extremos

**Dada la función $f(x) = x^{2}(x + 3)$, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.** La función $f(x) = x^2(x+3)$ es una función polinómica. Al expandirla obtenemos $f(x) = x^3 + 3x^2$. Las funciones polinómicas están definidas para cualquier número real, ya que no presentan divisiones por cero, raíces de índice par de números negativos ni logaritmos de números no positivos. Por tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. 💡 **Tip:** El dominio de cualquier función polinómica de la forma $P(x) = a_n x^n + ... + a_0$ es siempre $\mathbb{R}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Para hallar los puntos de corte, analizamos la intersección con el eje $Y$ y con el eje $X$: 1. **Corte con el eje $Y$ (ordenada en el origen):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = 0^2(0 + 3) = 0 \cdot 3 = 0$$ El punto de corte es $(0, 0)$. 2. **Corte con el eje $X$ (abscisas):** Resolvemos la ecuación $f(x) = 0$. $$x^2(x + 3) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $x + 3 = 0 \implies x = -3$ Los puntos de corte con el eje $X$ son $(0, 0)$ y $(-3, 0)$. 💡 **Tip:** Para hallar los cortes con el eje $X$, igualamos la función a cero. Si la función ya está factorizada, basta con igualar cada factor a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cortes con ejes: } (0, 0) \text{ y } (-3, 0)}$$

Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos, necesitamos la primera derivada $f'(x)$. Primero, expandimos la función para derivar más fácilmente: $$f(x) = x^3 + 3x^2$$ Calculamos la derivada usando la regla de la potencia: $$f'(x) = 3x^{3-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} = 3x^2 + 6x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 + 6x = 0$$ Factorizamos $3x$: $$3x(x + 2) = 0$$ Las soluciones son: - $3x = 0 \implies x = 0$ - $x + 2 = 0 \implies x = -2$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero o no existe. En polinomios, solo buscamos $f'(x) = 0$. $$\boxed{f'(x) = 3x^2 + 6x \implies \text{Puntos críticos: } x = 0, x = -2}$$

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ y $(0, +\infty)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación de los signos:** - Para $x = -3 \in (-\infty, -2): f'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 \gt 0$ (Creciente). - Para $x = -1 \in (-2, 0): f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 \lt 0$ (Decreciente). - Para $x = 1 \in (0, +\infty): f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 \gt 0$ (Creciente). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Creciente en: } (-\infty, -2) \cup (0, +\infty) \\ & \text{Decreciente en: } (-2, 0) \end{aligned}}$$

Basándonos en el estudio de la monotonía, identificamos los máximos y mínimos relativos calculando su coordenada $y$: 1. **Máximo relativo en $x = -2$:** Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = -2$, hay un máximo. $$f(-2) = (-2)^2(-2 + 3) = 4(1) = 4$$ El máximo relativo está en **$(-2, 4)$**. 2. **Mínimo relativo en $x = 0$:** Como la función pasa de decrecer a crecer en $x = 0$, hay un mínimo. $$f(0) = 0^2(0 + 3) = 0$$ El mínimo relativo está en **$(0, 0)$**. 💡 **Tip:** También podrías usar el criterio de la segunda derivada: $f''(x) = 6x + 6$. - $f''(-2) = -6 \lt 0$ (Máximo). - $f''(0) = 6 \gt 0$ (Mínimo). ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (-2, 4), \quad \text{Mínimo relativo: } (0, 0)}$$