Continuidad, derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) Estudiar su continuidad y derivabilidad en $x = 1$.** (1 punto) Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben existir los límites laterales, el valor de la función en el punto, y todos deben coincidir. 1. **Valor de la función en $x = 1$:** Utilizamos la segunda rama ($x \geq 1$): $$f(1) = \ln(1) = 0.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** Utilizamos la primera rama ($x < 1$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2 - x} = \frac{1}{2 - 1} = 1.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** Utilizamos la segunda rama ($x \geq 1$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \ln(x) = \ln(1) = 0.$$ Como los límites laterales son finitos pero distintos ($1 \neq 0$), la función presenta una **discontinuidad inevitable de salto finito** en $x = 1$. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. $$\boxed{\text{f(x) no es continua en } x = 1}$$

Para que una función sea derivable en un punto, es **condición necesaria** que sea continua en dicho punto. Como hemos demostrado en el paso anterior que $f(x)$ no es continua en $x = 1$, podemos concluir directamente que la función no es derivable en $x = 1$. 💡 **Tip:** Si una función presenta un salto o un punto anguloso (o no es continua), no puede existir la derivada en ese punto. $$\boxed{\text{f(x) no es derivable en } x = 1}$$

**b) Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales.** (1 punto) Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida (ceros del denominador, argumentos nulos de logaritmos, etc.). 1. **Rama 1 ($x < 1$):** $f(x) = \frac{1}{2 - x}$. El denominador se anula en $x = 2$. Sin embargo, este valor no pertenece al intervalo de definición de esta rama ($x < 1$). Por tanto, no hay asíntota vertical en esta parte. 2. **Rama 2 ($x \geq 1$):** $f(x) = \ln(x)$. La función logaritmo tiene una asíntota vertical en $x = 0$ (donde el argumento es cero). No obstante, $x = 0$ no pertenece al intervalo de esta rama ($x \geq 1$). 3. **Punto de salto ($x = 1$):** Ya hemos comprobado que los límites laterales son finitos (1 y 0), por lo que no hay asíntota vertical en $x = 1$. 💡 **Tip:** Existe una asíntota vertical en $x=a$ si alguno de los límites laterales tiende a $\pm \infty$. $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

Calculamos los límites en el infinito para cada rama: 1. **Asíntota horizontal por la izquierda ($x \to -\infty$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2 - x} = \frac{1}{+\infty} = 0.$$ Por lo tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$** cuando $x \to -\infty$. 2. **Asíntota horizontal por la derecha ($x \to +\infty$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty.$$ Al ser el límite infinito, no existe asíntota horizontal por la derecha. 💡 **Tip:** Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ (siendo $L$ un número real), entonces $y = L$ es una asíntota horizontal. $$\boxed{\text{AH: } y = 0 \text{ (cuando } x \to -\infty\text{)}}$$