Plano que contiene a una recta y distancia de un punto a una recta

**a) Determinar el plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P = (0, 0, 1)$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Como el plano debe contener a la recta $r$, el vector director de la recta será también un vector director del plano. 1. **Vector director de la recta $r$ ($\vec{v}_r$):** Utilizamos los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(0, 1, 1)$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 0, 1 - (-1)) = (-1, 1, 2)$$ 2. **Segundo vector director ($\vec{u}$):** Usamos el punto $P(0, 0, 1)$ y un punto de la recta, por ejemplo $A(1, 0, -1)$: $$\vec{u} = \vec{AP} = P - A = (0 - 1, 0 - 0, 1 - (-1)) = (-1, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$ si estos no son proporcionales.

El vector normal $\vec{n}$ es perpendicular a los dos vectores directores del plano. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante (por adjuntos de la primera fila o Sarrus): $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(2 - 0) - \mathbf{j}(-2 - (-2)) + \mathbf{k}(0 - (-1))$$ $$\vec{n} = 2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (2, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos.

Con el vector normal $\vec{n} = (2, 0, 1)$, la ecuación del plano es de la forma $2x + 0y + 1z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos el punto $P(0, 0, 1)$: $$2(0) + 0(0) + 1(1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es $2x + z - 1 = 0$. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{2x + z - 1 = 0}$$

**b) Calcular la distancia de la recta $r$ al punto $P = (0, 0, 1)$.** La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ que pasa por $A$ con vector director $\vec{v}_r$ viene dada por la fórmula del área del paralelogramo: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{AP}|}{|\vec{v}_r|}$$ Ya conocemos los elementos necesarios del apartado anterior: - $\vec{v}_r = (-1, 1, 2)$ - $\vec{v}_r \times \vec{AP} = (2, 0, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por los vectores.

Calculamos el módulo del producto vectorial y el módulo del vector director: 1. **Módulo del numerador:** $$|\vec{v}_r \times \vec{AP}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$$ 2. **Módulo del denominador:** $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{6}$ arriba y abajo: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{d(P, r) = \frac{\sqrt{30}}{6} \text{ unidades} \approx 0,913}$$