Geometría en el espacio: planos y rectas perpendiculares

**a) Razonar si existe un plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$.** Para que exista un plano $\pi$ que cumpla ambas condiciones, debemos analizar la relación entre sus vectores: 1. Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r_2$, su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser paralelo al vector director de $r_2$. Por tanto, tomamos $\vec{n_\pi} = \vec{v_2} = (3, 2, 2)$. 2. Si el plano $\pi$ contiene a la recta $r_1$, todos los vectores de la recta (y en particular su vector director $\vec{v_1}$) deben ser perpendiculares al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Por tanto, la condición necesaria es que el producto escalar de los vectores directores sea cero: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta está contenida en un plano, su vector director es perpendicular al vector normal del plano ($\vec{v} \perp \vec{n} \iff \vec{v} \cdot \vec{n} = 0$).

Calculamos el producto escalar de $\vec{v_1} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v_2} = (3, 2, 2)$: $$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1, 2, 1) \cdot (3, 2, 2) = 1(3) + 2(2) + 1(2)$$ $$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 3 + 4 + 2 = 9$$ Como el producto escalar es **$9 \neq 0$**, los vectores no son perpendiculares. Esto implica que la recta $r_1$ no puede ser paralela a la familia de planos perpendiculares a $r_2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe tal plano}}$$

**b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que contiene al punto $(1,0,0)$.** Sea $s$ la recta buscada. Su vector director $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{v_1}$ y $\vec{v_2}$. La forma más directa de obtenerlo es mediante el **producto vectorial**: $$\vec{v_s} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por el método de Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{v_s} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_s} = \mathbf{i}(2\cdot2 - 1\cdot2) - \mathbf{j}(1\cdot2 - 1\cdot3) + \mathbf{k}(1\cdot2 - 2\cdot3)$$ $$\vec{v_s} = \mathbf{i}(4 - 2) - \mathbf{j}(2 - 3) + \mathbf{k}(2 - 6)$$ $$\vec{v_s} = 2\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = (2, 1, -4)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$.

Utilizamos el punto dado $P(1, 0, 0)$ y el vector director hallado $\vec{v_s} = (2, 1, -4)$. La ecuación de la recta $s$ en **forma continua** es: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{-4}$$ Y en **forma paramétrica**: $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -4\lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 1}{2} = y = \frac{z}{-4}}$$