Ecuaciones matriciales e invertibilidad de una matriz

**a) [1 punto] Calcular la matriz $C$, siendo $c_{11} = 2$, tal que $AC = B$.** Primero, determinamos las dimensiones de la matriz $C$. Para que el producto $A \cdot C$ sea posible, el número de filas de $C$ debe coincidir con el número de columnas de $A$. Dado que $A$ es de orden $3 \times 2$ y el resultado $B$ es de orden $3 \times 2$, la matriz $C$ debe ser una matriz cuadrada de orden $2 \times 2$. Sea $C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$. Como el enunciado indica que $c_{11} = 2$, la matriz queda: $$C = \begin{pmatrix} 2 & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$$ Planteamos la ecuación matricial $AC = B$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

Realizamos el producto $A \cdot C$ fila por columna: $$\begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 1 \cdot c_{21} & 1 \cdot c_{12} + 1 \cdot c_{22} \\ 0 \cdot 2 + a \cdot c_{21} & 0 \cdot c_{12} + a \cdot c_{22} \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot c_{21} & 1 \cdot c_{12} + 1 \cdot c_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + c_{21} & c_{12} + c_{22} \\ a \cdot c_{21} & a \cdot c_{22} \\ 2 + c_{21} & c_{12} + c_{22} \end{pmatrix}$$ Igualamos esta matriz resultante a la matriz $B$: $$\begin{pmatrix} 2 + c_{21} & c_{12} + c_{22} \\ a \cdot c_{21} & a \cdot c_{22} \\ 2 + c_{21} & c_{12} + c_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ De aquí obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones para las incógnitas restantes: 1) $2 + c_{21} = 3 \implies c_{21} = 1$ 2) $a \cdot c_{21} = a$ (Como $c_{21} = 1$, se cumple $a=a$, consistente para cualquier $a \neq 0$) 3) $a \cdot c_{22} = 0$ 4) $c_{12} + c_{22} = -1$ 💡 **Tip:** Dos matrices son iguales si y solo si todos sus elementos correspondientes son iguales.

Resolvemos las ecuaciones obtenidas: - De la ecuación (3): $a \cdot c_{22} = 0$. Puesto que el enunciado especifica que $a \in \mathbb{R} - \{0\}$, la única posibilidad es que **$c_{22} = 0$**. - Sustituimos $c_{22}$ en la ecuación (4): $c_{12} + 0 = -1 \implies$ **$c_{12} = -1$**. Ya tenemos todos los elementos de la matriz $C$: - $c_{11} = 2$ (Dato inicial) - $c_{12} = -1$ - $c_{21} = 1$ - $c_{22} = 0$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Si $D = B^t A$ siendo $B^t$ la traspuesta de $B$, determinar los valores de $a$ para los que $D$ tiene matriz inversa.** Primero hallamos la traspuesta de $B$, intercambiando sus filas por columnas: $$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 3 & a & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz $D = B^t A$: $$D = \begin{pmatrix} 3 & a & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 3(1) + a(0) + 3(1) & 3(1) + a(a) + 3(1) \\ -1(1) + 0(0) + (-1)(1) & -1(1) + 0(a) + (-1)(1) \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 3 + 0 + 3 & 3 + a^2 + 3 \\ -1 + 0 - 1 & -1 + 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & a^2 + 6 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para trasponer una matriz, la primera fila pasa a ser la primera columna, la segunda fila a segunda columna, etc.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(D) \neq 0$). Calculamos el determinante de $D$: $$\det(D) = \begin{vmatrix} 6 & a^2 + 6 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\det(D) = (6)(-2) - (-2)(a^2 + 6)$$ $$\det(D) = -12 + 2(a^2 + 6)$$ $$\det(D) = -12 + 2a^2 + 12 = 2a^2$$ Buscamos los valores de $a$ para los que el determinante se anula: $$2a^2 = 0 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$$ Como el enunciado nos restringe el valor de $a$ al conjunto $\mathbb{R} - \{0\}$, para cualquier valor de $a$ permitido, el determinante será distinto de cero. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\text{La matriz } D \text{ tiene inversa para todos los valores de } a \in \mathbb{R} - \{0\}}$$