Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros

**a) Obtener todas las soluciones del sistema $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$ (1 punto)** Tenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas ($x, y, z$). Para resolverlo, primero analizamos el rango de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ Como el rango de $A$ es 2 y hay 3 incógnitas, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Necesitamos un parámetro para expresar la solución general. 💡 **Tip:** Si el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas y el sistema es compatible, siempre habrá infinitas soluciones.

Asignamos un parámetro a una de las variables. Sea $z = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$. El sistema queda: $$\begin{cases} x + y = 1 - \lambda \\ x + 2y = 3 + \lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 2y) - (x + y) = (3 + \lambda) - (1 - \lambda)$$ $$y = 2 + 2\lambda$$ Sustituimos el valor de $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + (2 + 2\lambda) = 1 - \lambda$$ $$x = 1 - \lambda - 2 - 2\lambda = -1 - 3\lambda$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1 - 3\lambda, \quad y = 2 + 2\lambda, \quad z = \lambda \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Determinar todos los $a, b \in \mathbb{R}$ para que $x = 5, y = -2, z = -2$ sea solución del sistema $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ ax + 2ay + bz = b \end{cases}$. ¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única? (1 punto)** Para que $(5, -2, -2)$ sea solución, debe satisfacer las tres ecuaciones. Comprobamos las dos primeras: 1. $5 + (-2) + (-2) = 1 \implies 1 = 1$ (Se cumple) 2. $5 + 2(-2) - (-2) = 5 - 4 + 2 = 3 \implies 3 = 3$ (Se cumple) Ahora sustituimos en la tercera ecuación: $$a(5) + 2a(-2) + b(-2) = b$$ $$5a - 4a - 2b = b$$ $$a - 2b = b \implies a = 3b$$ Por tanto, para cualquier par de valores donde **$a = 3b$**, el punto dado es solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3b}$$ 💡 **Tip:** Un punto es solución de un sistema si, al sustituir sus coordenadas en todas las ecuaciones, se obtienen igualdades ciertas.

Para que la solución sea única, el sistema debe ser **Compatible Determinado (SCD)**. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, esto ocurre si el rango de la matriz de coeficientes $M$ es igual al número de incógnitas (3). Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ a & 2a & b \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o desarrollamos por una fila: $$|M| = 1(2b + 2a) - 1(b + a) + 1(2a - 2a)$$ $$|M| = 2b + 2a - b - a = a + b$$ Para que la solución sea única, necesitamos $|M| \neq 0$, es decir, $a + b \neq 0$. Como tenemos la condición previa $a = 3b$, sustituimos: $$3b + b \neq 0 \implies 4b \neq 0 \implies b \neq 0$$ Si $b \neq 0$, entonces $a = 3b$ también será distinto de cero, y el sistema tendrá solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La solución es única para } a = 3b \text{ con } b \neq 0}$$